PROGRAM LINEAR Tugas Matematika Kelompok1B XI MIA 5 1

Di susun oleh : 1. Dhiha Wafirotul Anjali (07) 2. Eka Vanisatur Rohmah (09) 3. Faisal Hidayat Tauhid (11) 4. Muhammad Aldi Mubarrok (21) 5. M. Rizky Ma’arif (24) 2

Konsep Dasar Program Linier Dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (PtLDV) 3

 Kompetensi Dasar 3.2. Menjelaskan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan menggunakan masalah konstektual 4.2. Menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan dengan program linear dua variabel 4

 Indikator Mendefinisikan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Membentuk model Matematika dari suatu masalah Program Linear yang konstektual Menentukan penyelesaian suatu Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Menentukan syarat pertidaksamaan memiliki penyelesaian Menemukan syarat pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian mendefinisikan program linear dua variabel Mendefinikan daerah penyelesaian suatu masalah program linear dua variabel Mendefinisi fugsi tujuan suatu masalah program linear dua variabel Menjelaskan garis selidik Menjelaskan nilai suatu masalah program linier dua variabel Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan pertidaksamaan linear lainnya Menyusun pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu masalah kontekstual. 5

 Tujuan Pembelajaran  Memahami konsep pembelajaran.  Menjelaskan pengertian program linier dua variabel.  Menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung.  Menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah program linear dua variabel 6

PROGRAM LINEAR Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)- merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat dua variabel. Dengan masing- masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud disini antara lain: >, <, ≤, atau ≥. Maka, bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti berikut ini:  ax + by > c  ax + by < c  ax + by ≥ c  ax + by ≤ c 7

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Berbeda halnya dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berwujud himpunan pasangan titik-titik. Atau apabila kita gambar grafiknya akan berupa garis lurus. Penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah penyelesaian. Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear bisa berwujud daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang berupa daerah bersih. Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, kita bisa melakukan langkah-langkah seperti di bawah ini: 1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga kita akan memperoleh persamaan linear dua variabel 2. Gambar dari grafikatau garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini bisa kita lakukan dengan cara menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan. Ataupun dapat memakai dua titik sembarang yang dilewati oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius 3. Lakukan uji titik yang tidak dilewati oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Apabila menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut adalah penyelesaiannya. Tetapi, jika menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya. 8

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang mana variabel bebasnya berbentuk linear (pangkat satu). Seperti pada contoh berikut :  2x≥4  4y≤8 Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel disebut sebagai sistem pertidaksamaan linear duavariabel. Berikut adalah contoh dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel:  3x + 8y ≥ 24, x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0. 9

Modeldari pertidaksamaan dua variabel Kata yang menyatakan pertidaksamaan Tanda pertidaksamaan Contoh kalimat Bentuk pertidaksamaan *lebih dari* > Nilai x lebih dari 3 x>3 *kurang dari* < Nilai x kurang dari 3 X<3 *tidak kurang dari* atau *paling sedikit* ≥ Nilai x dan y masing masing tidak kurang atau lebih sedikit dari 0 x≥0, y≥0 *tidak lebih dari* atau *paling banyak* ≤ Jumlah nilai x dan y tidak lebih dari 0 X+y≤0 10

2. Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang kartesius yang dapat memenuhi seluruh pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari beberapa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini: a. 4x – 3y < 12 b. 2x – 5y > 20 c. 5x + 3y ≤ 15 11

a. 4x – 3y < 12 Langkah pertama adalah menggambar garis 4x – 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y. Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 didapat x = 3 (titik (3,0)) Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 didapat y = –4 (titik (0,–4)) Garis 4x – 3y = 12 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh: 4 x0 – 3x 0 < 12 0 < 12 (benar), yang berarti dipenuhi sebagai daerah penyelesaian. Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini: 12

13

b. 2x – 5y > 20 Langkah pertama adalah menggambar garis 2x – 5y = 20 dengan cara menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.  Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0, didapat x = 10 (titik (10,0))  Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, didapat y = –4 (titik (0,–4)) Garis 2x – 5y = 20 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil titik uji pada salah satu sisi daerah. Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh: 2 x0 – 5 x0 > 20 0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi. Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini: 14

15

c. 5x + 3y ≤ 15 Langkah pertama adalah menggambar garis 5x + 3y = 15 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y.  Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, didapat x = 3 (titik (3,0))  Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, didapat y = 5 (titik (0,5)) Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh: 5 x0 + 3x 0 ≤15 0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi. Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini: 16

17

Berdasarkan dari contoh di atas, cara untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua variabel bisa kila lakukan dengan beberapa langkah seperti di bawah ini: 1. Menggambar garis ax + by = c dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a,0) serta pada sumbu Y di titik (0,c/b ). 2. Kita cari tahu sebuah titik uji yang berada di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan.  Apabila pertidaksamaan mampu terpenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah himpunan penyelesaian.  Apabila pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak terdapat pada titik uji tersebut adalah daerah himpunan penyelesaian. 18

Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel yang sudah di ketahui Contoh soal : 19

Pembahasan : a) Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1 yaitu: x/2 + y/2 = 1 menjadi x+y=2 Garis l2 melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2 yaitu: x/1 + y/2 = 1 menjadi 2x+y=2 Dari gambar di atas, diketahui bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) terletak di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya yakni: x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0 b) Garis l1 melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1 yaitu: x/4 + y/4 = 1 menjadi x+y=4 Garis l2 melalui titik (2,0) dan (0,–1), persamaan garis l2 yaitu: x/2 + y/-1 = 1 menjadi -x+2y = -2 x-2y = 2 Dari gambar di atas, diketahui bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) terletak di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan juga di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya yakni: x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0 20

Latihan Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini : a. y≥-2x-4 b. -3x+4y≤3 c. 4x+y≤-2 d. 3x+4y≥6 21

22