MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS

Konsep Himpunan  Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.  Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.  Secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedang anggota berhuruf kecil.

Simbol-simbol Baku P =himpunan bilangan bulat positif={ 1, 2, 3,... } N =himpunan bilangan alami (natural) ={ 1, 2,... } Z =himpunan bilangan bulat= {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q =himpunan bilangan rasional R =himpunan bilangan riil C =himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}. Penyajian Himpunan

Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 2 A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x | xadalah bilangan bulat positif lebih kecil dari5} atau A  {x | x  P, x  5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Diagram Venn Dan Himpunan Semesta Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek.logika hipotesis Contoh 3 Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. U AB Diagram Venn:

HIMPUNAN KOSONG Himpunanyangtidakmengandunganggotadinamakan himpunan kosong ; Dilambangkan dengan  atau { } Contoh: A= {} Himpunankosong adalah himpunanbagian dari setiap himpunan.

``

Hubungan Antar Himpunan Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A  B Diagram Venn: U A B

1. Operasi –Union (Gabungan) Definisi : A U B={ x | x  Aataux  B } Contoh-1 A = { 2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 } Maka :A U B={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D= {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L} B U C=?B U D= ? C U D= ? B A

2. Operasi - Irisan Definisi :A  B={ x | x  Adanx  B } A  E = {2} Contoh : A = { 2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 } Maka : A  B = {2, 5} E  B = { 1,2 4} A  C = { } D  C = {14} A  D = { } B A

3. OperasiSelisih - Minus danx  B } Definisi :A – B={ x | x  A Contoh A = {2,3,4,6,7,9} B = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {3,5,9} Maka : A – B = {4,7} B – A = {1,5,8,10} A – C = {2,4,6,7} B – C = {1,2,6,8,10} C – B = {1,2,6,8,10} B A

4. OperasiBeda Setangkup Definisi : A  B = { x | (x  A ataux  B) danX  (A  B) } A  B=(A U B) – (A  B) A  B=(A - B) U (B - A) Contoh: A = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {1,3,5,7,9,11} ;B = {2,7,8,11} ; ;D = {0,1,2,5,6,7,9,12} Maka :A  B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11} B  C = ? B A

5. Operasi- Komplemen Definisi : A c ={ x | x  A danx  S } Contoh: A = { 2, 3, 5, 6, 8); c B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} S = { x | x bilangan asli  14} Maka : A c = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14} B = {3,5, 8,11,12,14} A AcAc 44 56825682  3  11  13  7  10  14  9  12 11 S A B

Hukum Aljabar Himpunan A  A = AA  A = A A  (B  C) = (A  B)  C A  B = B  A A  (B U C) = (A  B) U (A  C) 1.Hukum idempoten A U A = A 2.Hukum Asosiatif A U (B U C) = (AUB) U C 3. Hukum komutatif A U B = B U A 4.Hukum Distributif A U (B  C) = (AUB)  (A U C) 5.Hukum Identitas A U  = AA U S = S A  U = AA   =  6. Hukum Involusi (A c ) c = A 7. Hukum Komplpemen A U A c = S A  A c =  S c =   c = S 8. Hukum De Morgan ( A U B ) c = A c  B c ( A  B ) c = A c U B c

Jumlah Anggota Dalam Himpunan Berhingga n(A) = Jumlah anggota himpunan A n(B) = Jumlah anggota himpunan B n(C) = Jumlah anggota himpunan C n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) n(A  B) = n(A) + n(B) ; n(A  B) = 0 n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A  B) - n(A  C) -n(B  C) + n(A  B  C)

DEFENISI BILANGAN

Bilangan NyataKhayal IrrasionalRasional Bulat 2; -2; 1,1; -1,1  4  2 4  2 0, ; 8 ; , Hasil bagi antara 2 bilangan bulat, pecahan desimal terbatas, atau desimal berulang Hasil bagi antara 2 bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang ( , e) Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol) Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya pecahan dg desimal tak Pecahan terbatas, berulang ½; 2/7 PEMBAGIAN JENIS BILANGAN

Hubungan perbandingan antar bilangan Tanda Ketidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda < melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda > melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan” Sifat Perbandingan 1.Jika a -b 2.Jika a 0, maka x.a < x.b 3.Jika a x.b 4.Jika a < b dan c < d, maka a+c < b+d

OPERASI BILANGAN 1. KAIDAH KOMUTATIF Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b, maka berlaku: a + b = b + a contohnya: = KAIDAH ASOSIATIF Dalam menjumlahkan tiga bilangan a, b, dan c maka berlaku : (a+ b) + c = a +( b + c) Contohnya: ( 4 + 6) + 5 = 4+ (6 +5) = = 15 Begitu pula dengan operasi perkalian, perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tidak akan mengubah hasil perkalian. (a x b) x c = a x (b x c ) Contohnya : (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 6 x 4 = 2 x = KAIDAH DISTRIBUTIF Dalam pengalian bilangan a terhadap jumlah (b + c) hasilnya adalah sama dengan hasil ab dan hasil ac. a (b +c ) = ab + ac contohnya : 4 (3 + 2 ) = (4 x 3 ) + (4 x 2) 4 x 5 = = KAIDAH KOMUTATIF Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b, maka berlaku: a + b = b + a contohnya: = KAIDAH ASOSIATIF Dalam menjumlahkan tiga bilangan a, b, dan c maka berlaku : (a+ b) + c = a +( b + c) Contohnya: ( 4 + 6) + 5 = 4+ (6 +5) = = 15 Begitu pula dengan operasi perkalian, perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tidak akan mengubah hasil perkalian. (a x b) x c = a x (b x c ) Contohnya : (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 6 x 4 = 2 x = KAIDAH DISTRIBUTIF Dalam pengalian bilangan a terhadap jumlah (b + c) hasilnya adalah sama dengan hasil ab dan hasil ac. a (b +c ) = ab + ac contohnya : 4 (3 + 2 ) = (4 x 3 ) + (4 x 2) 4 x 5 = = 20

BILANGAN PECAHAN Istilah bilangan pecahan dalam ilmu matematika terdiri dari pembilang dan penyebut. Pada hakikatnya, bilangan pecahan ini digunakan untuk bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut, karena penyederhanaan pembilang dan penyebut ini dapat memudahkan proses operasi aritmatika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar namun tetap memiliki nilai yang sama.

Jenis-Jenis Bilangan Pecahan Ada beberapa macam jenis-jenis bilangan pecahan, yakni : Bilangan pecahan biasa Bilangan Pecahan Murni Bilangan pecahan campuran Bilangan pecahan desimal Bilangan pecahan persen Bilangan Pecahan Per-Mil Ada beberapa macam jenis-jenis bilangan pecahan, yakni : Bilangan pecahan biasa Bilangan Pecahan Murni Bilangan pecahan campuran Bilangan pecahan desimal Bilangan pecahan persen Bilangan Pecahan Per-Mil

Bilangan Pecahan Biasa Bilangan pecahan biasa adalah bilangan yang terdiri dari pembilangdan penyebut, yang mana angka pembilang nilainya lebih kecil daripada nilai angka penyebutnya. Contoh: 1/4 ( satu per empat ) dengan 1 sebagai pembilang dan 4 sebagai penyebut 4/5 (empat per lima ) dengan 4 sebagai pembilang dan 5 sebagai penyebut

Bilangan Pecahan Murni Bilangan Pecahan Murni adalah bilangan pecahan yang mana pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat serta berlaku pembilang lebih kecil dari pada penyebutnya. Pecahan murni dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa akan tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan sebagai pecahan murni. Contoh : 1/8, 3/8, 7/9, dst..

Bilangan Pecahan Campuran Bilangan pecahan yang tersusun dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni. Contoh : 2 ½, 5 ½, 3 ¾, dst..

Bilangan Pecahan Desimal Bilangan Pecahan Desimal adalah bilangan pecahan yang dengan pembilangnya 10, 100, dst.. penyebutnya misal 10, 100, 1000, dan seterusnya, kamudian ditulis dengan tanda koma (,). Contoh : Bentuk persepuluh (7/10) adalah 0,7 Bentuk perseratus (30/100) adalah 0,30

Bilangan Pecahan Persen Bilangan Pescahan Persen adalah bilangan yang bentuk pecahannya adalah perseratus namun beda bentuk penulisannya. Misal bentuk pecahan 5 persen artinya sama dengan lima per seratus (5/100), enam puluh lima perseratus (65 persen) artinya sama dengan 65/100, dan seterusnya. 200 persen artinya sama dengan 200/100 = 2. Kemudian tata cara penulisan bilangan persen adalah menggunakan simbol persen (%). Contoh: 5% artinya 5/100 55% artinya 55/100

Bilangan Pecahan Permil Bilangan pecahan permil ialah bilangan perseribu. 1 permil sama dengan 1/1.000 atau 1 banding Permil bukan satuan akan tetapi permil merupakan bentuk pecahan suatu bilangan. Permil memiliki simbol ‰. Lihat gambar : Simbol ini mirip dengan simbol persen %, bedanya jika persen angka 0 sebagai pembaginya ada satu (0), tetapi kalau permil, angka 0 pembaginya ada dua (00). Contoh: 10% 0 artinya 10/ % artinya 12/1000, dst…

Operasi Bilangan 1.Kaidah Komutatif a + b = b + a a x b = b x a 2.Kaidah Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) 3. Kaidah Pembatalan a + c = b + c Maka : a = b a x c = b x c Maka : a = b

4.Kaidah Distributif a (b + c) = ab + ac 5.Unsur Penyama a + 0 = a a x 1 = 4 a : 1 = 4 6. Kebalikan a x 0 = a a x 1/a = 1 Operasi Bilangan

Operasi Tanda Operasi Penjumlahan a. (+ a) + (+b) = (+c) b. (- a) + (- b) = (- c) c. (+ a) + (- b) = (+ c) jika |a| > |b| (+ a) + (- b) = (- d) jika |a| < |b| d. (- a) + (+ b) = (+ c) jika |a| |b|

Operasi Tanda Operasi Pengurangan a. (+ a) - (+ b) = (+ c) jika |a| > |b| (+ a) - (+ b) = (- d) jika |a| < |b| b. (- a) - (- b) = (+ c) jika |a| < |b| (- a) - (- b) = (- d) jika |a| > |b| c. (+ a) - (- b) = (+ c) d. (- a) - (+ b) = (- c)

Operasi Tanda Operasi Perkalian (+ a) x (+ b) = (+ c) (+ a) x (- b) = (- c) Operasi Pembagian (+ a) : (+ b) = (+ c) (+ a) : (- b) = (- c) (- a) x (- b) = (+ c) (- a) x (+ b) = (- c) (- a) : (- b) = (+ c) (- a) : (+ b) = (- c)

Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

Operasi Pemadanan a  axca  a:c B bxcb b:c Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi yang sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum sama, maka terlebih dahulu harus disamakan sebelum pecahan- pecahan tersebut ditambahkan dan dikurangkan.

Operasi Perkalian Operasi Pembagian a  b  ab xyxy a : b  a  y  ay xyxbxb

Latihan : (d )(d ) Selesaikan : (a) 3  2  (b) 3  2  (c) 3  2  1 476

TUGAS Diketahui A= {1,3,5,7,9,11} B={2,4,6,8,10} C= {1,2,3,5,7,9} S={bilangan bulat positif kurang dari 12} Tentukan: A  B A  B  C A  B  C A – B A – C A c  C

Konsep Fungsi Linier

Jenis-jenis fungsi