LINGKARAN Kelompok 1 : 1.Adinda Sahira ( ) 2.Cindy Widahyu ( ) 3.Yusni Utami ( ) Kelas : Matematika Dik C 2018 Dosen Pengampu : Dr. KMS. Muhammad Amin Fauzi,M.Pd. Mata Kuliah : Geometri Analitik

Sub-Materi Menentukan Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran pusat titik (a,b) Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Garis Singgung Sekutu Luar dan dalam

LINGKARAN Lingkaran adalah himpunan titik- titik pada bidang yang mempunyai jarak dari titik tertentu, yang diberikan pada bidang tersebut adalah konstan. Titik tetap adalah pusat dari lingkaran, konstanta jarak adalah jari-jari (radius). Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar. Beberapa Istilah dalam lingkaran yaitu : Titik Pusat, Jari-Jari, Diameter, Tali Busur, Panjang Busur, Juring, Tembereng,Apotema, Sudut Pusat, Sudut Keliling, Sudut Pusat.

Rumus Luas Lingkaran Untuk menghitung Luas sebuah bangun lingkaran kita bisa memakai rumus p × r² Rumus Keliling Lingkaran, ialah sebagai berikut: p × d atau 2 × p × r. Rumus diameter lingkaran ialah sebagai berikut: 2 × r. Contoh Soal 1: Jika diketahui sebuah lingkaran memiliki diameter 14 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut? Penyelesaian: Dik: d = 14 cm karena d = 2 × r maka: r = d/2 r = 14/2 r = 7 cm

1.1.1 Menentukan Persamaan Lingkaran Secara umum persamaan lingkaran yang memiliki t itik pusat (0, 0) dan memiliki jari-jari r digambarkan di bawah ini. Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (a, b) dan memiliki jari-jari r digambarkan berikut. Apabila bentuk Persamaan (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 dijabarkan maka diperoleh bentuk berikut. (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 x 2 – 2ax + a 2 + y 2 – 2bx + b 2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2bx + a 2 + b 2 - r 2 = 0 atau ditulis x 2 + y 2 + Ax + Bx + C = 0

Jadi, jika terdapat persamaan lingkaran dengan bentuk persamaan x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0, maka Titik pusat dan jari-jarinya adalah sebagai berikut. Contoh 1 Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki keadaan berikut. a. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 b. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 7 Jawaban: a. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 Persamaan lingkaran: x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 32 x2 + y2 = 9

1.1.2 Persamaan Lingkaran Pusat Titik P (a 0, b 0 ) Ambil semberang titik pada lingkaran missal titik Y ( a 1, a 1 ) dan pada titik P(a 0, b 0 ) sebagai pusat lingkaran. Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x missal di T 1. Buat garis melalui titik P sejajar sumbu x sehingga memotong TT 1 di titik Q. Pandang ▲ PQT. ▲ PQT merupakan segitiga siku-siku di titik Q,TQ = (a 0 – a 0 ) dan PQ = (b 1 – b 0 ). Sehingga berlaku teorema phytagoras : PQ 2 + QT 2 = OT 2 (a 1 –a 0 ) 2 + (b 1 – b 0 ) 2 = r 2 Karena berlaku setiap titik T(a 1, b 1 ) pada lingkaran, maka berlaku (a 1 – a 0 ) 2 + (b 1 – b 0 ) 2 = r 2 Yang merupakan persamaan lingkaran pusat (a 0, b 0 ) dengan jari-jari r Contoh 1 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4 Jawab : Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2 Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2 (x- 3)2 + (y – 2)2 = 42 (x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Contoh Soal :

4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik. Hubungan dua garis Sejajar // m1=m2 Tegak Lurus (m1.m2= - 1) Lingkaran Persamaan Garis Singgung Bergradien m atauMelaluititik di luarlingkaran Melaluititikpadalingkaran (x,y)

Contoh Soal

Kedudukan Dua Lingkaran: Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu: a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras maka diperoleh rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah Perhatikan gambar di samping! ∆PBS sebangun dengan ∆QCS, karena ∠ PBS = ∠ QDCS= 90° dan ∠ PSB = ∠ QSC (saling berrhimpit) mengakibatkan ∠ BPS = ∠ CQS, sehingga, Titik Sadalah titik potong kedua garis singgung, yang merupakan perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ: QS = (R-r) : r ; R > r Maka koordinat titik S adalah

CONTOH SOAL Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar lingkaran L 1 ≡ (x-5) 2 + (y-6) 2 = 16 dan L 2 ≡ (x-15) 2 + (y-4) 2 = 4 L 1 ≡ (x-5) 2 + (y-6) 2 = 16 mempunyai pusat P (5,6) dan jari-jari R=4 L 2 ≡ (x-15) 2 + (y-4) 2 = 4 mempunyai pusat Q(15,4) dan jari-jari r=2 Maka, Maka panjang garis singgung sekutu luar lingkaran adalah T U

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah Perhatikan gambar di samping! ∆PBE sebangun dengan ∆QDE, karena ∠ PBE = ∠ QDE = 90° dan ∠ PEB = ∠ QED (saling bertolak belakang) mengakibatkan ∠ BPE = ∠ DQE, sehingga, Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan perbandingan PE : EQ = R : r Maka koordinat titik E adalah E

Jawab : CONTOH SOAL Tentukan panjang garis sekutu dalam L 1 ≡ (x-2) 2 + (y-3) 2 = 16 dan L 1 ≡ (x-12) 2 + (y-3) 2 = 4 L 1 ≡ (x-2) 2 + (y-3) 2 = 16 mempunyai pusat P (2,3) dan jari-jari R=4 L 2 ≡ (x-12) 2 + (y-3) 2 = 4 mempunyai pusat Q(12,3) dan jari-jari r=2 Maka, PQ = Maka panjang garis singgung sekutu dalam adalah : = PQ S T