4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem Bab 4 : PERSAMAAN-PERSAMAAN DASAR UNTUK CONTROL VOLUME DALAM BENTUK INTEGRAL Mencari Korelasi antara Sistem dengan Perumusan-perumusan Control Volume 4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem Konservasi Masa: dimana masa m dalam sistem: 2. Hukum Newton II: dimana: = momentum linear = gaya luar yang bekerja pada sistem

4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem momentum dari sistem adalah : 3. Prinsip Momentum Angular: “Jumlah torsi yang bekerja pada suatu sistem = laju perubahan dari momentum angular” dimana: = torsi = momentum angular Momentum angular dari sistem adalah: Torsi ( ) disebabkan oleh: gaya permukaan, gaya body dan juga oleh poros : 2

4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem 4. Hukum Termodinamika-I: Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan: dimana: = laju perpindahan panas = laju kerja = laju energi total Energi total dari sistem adalah: dan energi potensial per satuan masa energi kinetik per satuan masa energi dalam per satuan masa energi total per satuan masa 3

4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem 5. Hukum Termodinamika-II: bila sejumlah panas dQ dipindahkan ke dalam sistem bertemperatur T, maka berdasarkan hukum Termodinamika II perubahan entropi dS ditulis sbb: Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan: Entropi dari sistem adalah: dimana : s = entropi per satuan masa 4

4.2. Bentuk Umum Persamaan Dasar Sistem Sebutlah: N = sembarang extensive property dari sistem dan h = intensive property (extensive property per satuan masa) Maka bila: 5

Laju perubahan dari Nsistem: 4.2.1. Derivasi Laju perubahan dari Nsistem: dimana: 6

4.2.1. Derivasi maka: = 2 3 1 1 7

Pada daerah III masa mengalir keluar dari CV selama interval waktu Dt 4.2.1. Derivasi = Pada daerah III masa mengalir keluar dari CV selama interval waktu Dt 2 8

Pada daerah I masa mengalir masuk ke dalam CV selama interval waktu Dt 4.2.1. Derivasi = Pada daerah I masa mengalir masuk ke dalam CV selama interval waktu Dt Note : 3 9

Persamaan TRANSPORTASI REYNOLDS 4.2.1. Derivasi maka laju perubahan dari N)sistem menjadi: masuk cv keluar cv dimana bila: cs = csI + cs III a = 0o a = 180o Sehingga: Persamaan TRANSPORTASI REYNOLDS 10

Arti fisik Persamaan Transportasi Reynolds: 4.2.1. Derivasi Arti fisik Persamaan Transportasi Reynolds: 11

Pemakaian Persamaan Transportasi Reynolds 4.3. Konservasi masa Persamaan Transportasi Reynolds: Dalam hal ini: Sehingga diperoleh Formulasi CV untuk Konservasi Masa, sbb.: N = m 12

Formulasi Konservasi Masa dapat disederhanakan, sbb. : 4.3.1. Kasus Khusus Formulasi Konservasi Masa dapat disederhanakan, sbb. : a. Untuk aliran Incompressible sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi: = 0 = 0 (vol = konstan) (r = konstan) Sehingga : 13

4.3.1. Kasus Khusus a. Untuk aliran steady = 0 (aliran steady) Note: sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi: = 0 (aliran steady) maka : Note: 14

= merupakan vektor luasan yang arahnya CATATAN PENTING = merupakan vektor luasan yang arahnya positip bila ditarik ^ keluar dari bidang Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan membentuk sudut a = 180oCos 180o = -1 Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan membentuk sudut a = 0oCos 0o = 0 Cos 0o = +1 Resume: keluar masuk 15

CONTOH SOAL 16

CONTOH SOAL 17

CONTOH SOAL 18

4.4.1. Untuk Control Volume Diam 4.4. Persamaan Momentum 4.4.1. Untuk Control Volume Diam Hukum Newton II untuk suatu sistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam : dimana: Persamaan Transportasi Reynolds: 19

4.4.1. Untuk Control Volume Diam dimana: maka persamaan momentum ditulis: atau: Note: Bila gaya body persatuan masa = maka: Dalam hal ini, bila gaya bodi = berat  Gaya permukaan akibat tekanan (p): N = 20

4.4.1. Untuk Control Volume Diam Komponen gaya-gaya: - sumbu - x : - sumbu – y : - sumbu – z : Note: 1). Langkah ke-1 yang harus dilakukan adalah menentukan tanda dari 2). Langkah ke-2 adalah menentukan tanda dari kecepatan u, v, w, yang tergantung dari sistem koordinat yang dipilih. Dalam hal ini tandanya harus diperhitungkan bila disubstitusikan untuk mendapatkan harga numerik, sbb.: 21

4.4.1. Untuk Control Volume Diam 22

4.4.1. Untuk Control Volume Diam 23

4.4.1. Untuk Control Volume Diam 24

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan Cara Analisa: Dalam analisanya, ada 2(dua) hal yang harus dicatat: 1). semua kecepatan diukur relatif terhadap CV (koordinat : xyz bukan XYZ) 2). semua derivasi terhadap waktu, diukur relatif terhadap CV (koordinat: xyz bukan XYZ) Persamaan Transportasi Reynolds: 25

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan Untuk momentum: - N = Pxyz  maka : h = Vxyz maka persamaan momentum untuk CV yang bergerak dengan kecepatan konstan: dimana: subcript : xyz = menunjukkan relatif terhadap CV. 26

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan 27

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan 28

4.5. Prinsip Momentum Angular 4.5.1. Untuk Control Volume Diam Prinsip Momentum Anguler untuk suatu sistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam : dimana: Persamaan Transportasi Reynolds: 29

4.5.1. Untuk Control Volume Diam dimana: maka persamaan momentum anguler ditulis: atau: Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, maka : Sehingga: N = 30

Contoh Soal : Lawn Sprinkler DiketahuI: Tentukan : a). Vjet relatif thdp setiap nosel b). Torsi akibat friksi pd pivot persamaan dasar: dimana kecepatan diukur relatif terhadap koordinat inertial (tetap) XYZ. Asumsi: 1). aliran incompressible 2). aliran uniform pd setiap section 3). Kecepatan sudut ( ) = konstan = 0 (1) = 0 (a) = 0 (b) 31

Contoh Soal : Lawn Sprinkler Dari kontinuitas, kecepatan relatif jet (Vjet) pada nosel dapat dihitung: Dalam kasus ini persamaan momentum Angular dapat dipahami setiap bagiannya sbb: Sehingga satu-satunya Torsi yang bekerja pada CV hanyalah akibat gesekan pada pivot sbb. : 32

Contoh Soal : Lawn Sprinkler Sebelum mengevaluasi persamaan integral untuk CV pada sisi kanan (=) dari persamaan momentum anguler diatas, terlebih dulu akan dievaluasi tentang posisi vektor dan vektor kecepatan (diukur relatif terhadap XYZ) untuk setiap elemen fluida dalam CV : 33

Contoh Soal : Lawn Sprinkler Panjang lengan kanan OA = R menempel pada bidang XY; sementara AB membentuk sudut kemiringan a tdp bidang XY, dimana titik B’ adalah proyeksi dari titik B pd bidang XY.Bila diasumsikan panjang tip AB = L yang relatif sangat kecil dibanding R (L<<R)  momentum fluida dlm tip AB << momentum fluida dlm lengan R. 34

Contoh Soal : Lawn Sprinkler Maka momentum fluida dalam lengan kanan R (OA) dihitung sbb. : untuk menghitung akan dihitung lebih dulu sbb.: sehingga: maka: 35

Contoh Soal : Lawn Sprinkler maka: dimana A = luas penampang pipa Analog untuk lengan kanan, lengan kiri juga akan menghsilkan harga yang sama (= 0). Selanjutnya untuk menghitung momentum anguler yang menembus CS = akan ditentukan lebih dulu : yang dihitung relatif tdp XYZ. Untuk lengan kanan OAB, sbb. : 36

Contoh Soal : Lawn Sprinkler untuk L << R, maka : selanjutnya: 37

Contoh Soal : Lawn Sprinkler sehingga: maka momentum anguler yang menembus CS untuk lengan kanan (OAB): Analog untuk lengan kiri (OCD): 38

Contoh Soal : Lawn Sprinkler sehingga bila di jumlahkan antara lengan kiri & kanan, didapat: maka: atau: sehingga dr data yang diketahui, didapat: 39

4.5. Hukum Termodinamika-I Hukum Termodinamika-I menyatakan tentang kesetimbangan Energi, sbb.: dimana: (+ bila panas ditambahkan masuk ke dalam sistem) (- bila kerja dilakukan sistem keluar ke sekeliling) dan energi potensial per satuan masa energi kinetik per satuan masa energi dalam per satuan masa energi total per satuan masa 40

4.5. Hukum Termodinamika-I Persamaan Transportasi Reynolds: dimana: maka : Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, Sehingga: N = E 41

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV diklasifikasikan menjadi 4 sbb.: Laju Kerja Poros adalah laju kerja yang dipindahkan oleh poros menembus control surface (CS) Bila gaya bekerja menyebabkan perpindahan sejauh , maka kerja yang dilakukan diberikan sbb.: sehingga laju kerja yang dihasilkan: 1. Kerja Poros ( ) 2. Kerja akibat Tegangan Normal pada CS ( ) 42

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV Laju kerja pada element dari CS oleh tegangan normal ( ) : maka total laju kerja akibat : Gaya geser yang bekerja pada elemen dari CS diberikan: dimana t adalah tengan geser yang bekerja pada bidang Laju kerja pada keseluruhan CS akibat tegangan geser: 3. Kerja akibat Tegangan Geser pada CS ( ) 43

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV Laju kerja akibat tegangan geser dapat diuraikan dalam 3 term: sehingga: Bila CS^ maka a = 90o dan 44

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV Kerja lain meliputi: energi listrik, energi elektromagnetik, dll. Sehingga secara keseluruhan laju kerja dapat ditulis sbb.: 4. Kerja lain-lain ( ) 45

4.5.2. Persamaan Control Volume Dengan menguraikan maka Hk Termodinamika I dalam formulasi CV menjadi: atau karena (dimana u = specific volume), maka: sehingga: Dalam dunia teknik u/ aliran secara umum (dimana p = tekanan termodinamika) maka: 46

Contoh Soal Udara memasuki sebauh kompresor di (1) dan keluar di (2), dengan kondisi seperti tergambar. Bila laju aliran masa udara sebesar 9 kg/s dan daya input memasuki kompresor sebesar 447 kW Tentukan: Laju aliran panas 47

4.6. Hukum Termodinamika-II Hukum Termodinamika-II dinyatakan sbb.: dimana total entropy (S) dari sistem diberikan sbb.: Persamaan Transportasi Reynolds: dimana maka N = S 48

4.6. Hukum Termodinamika-II Karena pada saat to sistem & CV berimpit, maka: Sehingga Hk Termodinamika II dalam formulasi CV menjadi: Note: Dalam persamaan diatas, menyatakan heat flux per satuan luas dalam CV yang melintasi elemen dA. Untuk menghitung maka heat flux ( ) dan temperatur lokal T, keduanya harus diketahui untuk setiap luas elemen dari CS. 49