BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7.1 LIMIT FUNGSI 7.1.1 Limit fungsi di suatu titik Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik Illustrasi:  Diketahui x f(x) 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ 1,000 ? ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 y y = f(x) f(x) 3 f(x) 1 x x 1 x  Dari tabel dan grafik: nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x  1.  Notasi:

Definisi: [Limit fungsi di suatu titik] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x  a. Catatan: 1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah f(x) → L, bila x → a. 2. Fungsi f tidak harus terdefinisi di a. 3. Jika f terdefinisi di a, f(a) tidak harus sama dengan L. y y y y = f(x) y = f(x) y = f(x) L L L x x x a a a f(a) = L f(a)  L f(a) tidak terdefinisi Contoh: Tentukan limit berikut. x

 Diketahui: f(x) = ║x ║ , x  [-1,2) 7.1.2 Limit satu sisi Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan Illustrasi:  Diketahui: f(x) = ║x ║ , x  [-1,2) y y = f(x) 1 x -1 1 2 -1  Dari grafik:  nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x  0. Situasi ini dilambangkan  nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x  0. Situasi ini dilambangkan

Definisi: [Limit kanan] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f(x) ketika x mendekati a (atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a. Definisi: [Limit kiri] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f(x) ketika x mendekati a (atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a. Teorema: [Hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi] Contoh: Tentukan limit berikut. y y = f(x) 5 3 1 x 1 3

nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara 7.1.3 Limit takhingga Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik Illustrasi:  Diketahui: y y = f(x) x  Dari grafik: nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x  0.  Notasi: Definisi: Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan , ditulis apabila nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x  a. Catatan: Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan  adalah f(x) → , bila x → a.

nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara Illustrasi:  Diketahui: y x y = f(x)  Dari grafik: nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x  0.  Notasi: Definisi: Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan -, ditulis apabila nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x  a. Catatan: 1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan - adalah f(x) → -, bila x → a. 2. Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak hingga satu sisi:

 Dari tabel dan grafik: Contoh: Tentukan limit berikut. 7.2 DEFINISI TEPAT LIMIT FUNGSI Illustrasi:  Diketahui x f(x) 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ 1,000 ? ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 y y = f(x) f(x) 3 f(x) 1 x x 1 x  Dari tabel dan grafik: 2,710 < f(x) < 3,310 jika 0,9 < x < 1,1 dan x  1 2,970 < f(x) < 3,030 jika 0,99 < x < 1,01 dan x  1 2,997 < f(x) < 3,003 jika 0,999 < x < 1,001 dan x  1 mengakibatkan: |f(x) – 3| < 0,3 jika 0 < |x - 1| < 0,1 |f(x) – 3| < 0,03 jika 0 < |x - 1| < 0,01 |f(x) – 3| < 0,003 jika 0 < |x - 1| < 0,001

 Notasi jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3:  Jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, jika jarak x ke 1 cukup dekat dan x  1.  Notasi jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3:  > 0, |f(x) - 3| <  Notasi jarak x ke 1 cukup dekat dan x  1: () > 0, 0 < |x - 1| <  Perhatikan bahwa dalam hal ini  = /3  Notasi jarak f(x) selalu dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, jika jarak x ke 1 cukup dekat & x  1  > 0, () > 0, sehingga berlaku: 0 < |x - 1| <   |f(x) - 3| <    > 0, () > 0, sehingga berlaku: 0 < |x - 1| <   |f(x) - 3| <  Definisi: [Limit fungsi di suatu titik] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x men-dekati a sama dengan L, ditulis jika dan hanya jika  > 0, () > 0, sehingga berlaku: 0 < |x - a| <   |f(x) - L| < 

Contoh: Dengan menggunakan definisi - tentukan limit berikut. y y y = f(x) y = f(x) L+ L+ L L L- L- x a- x a a+ a Diberikan  > 0 sebarang ada  > 0 yang berpadanan dengan  y y = f(x) L+ L L- a- x a+ a sehingga 0 < |x - a| <   |f(x) - L| <  Contoh: Dengan menggunakan definisi - tentukan limit berikut. 7.3 HUKUM LIMIT Teorema: Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit ada, maka:

Contoh: Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut:

Contoh: Tentukan limit berikut. Teorema: Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam derah asal f, maka Contoh: Tentukan limit berikut. Teorema: Contoh: Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada jelaskan mengapa. ║x║ Teorema: Jika f(x)  g(x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka Teorema: [Teorema apit / jepit] Jika f(x)  g(x)  h(x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan maka

Contoh: Tentukan limit berikut. 7.4 KEKONTINUAN FUNGSI Definisi: [Kekontinuan di suatu titik] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila Catatan: 1. Secara implisit definisi di atas mensyaratkan: a. f(a) terdefinisi b. c. 2. Ciri fungsi kontinu di suatu titik adalah grafik fungsinya tersambung di titik tersebut. 3. Bila f tidak kontinu di a, dikatakan f diskontinu di a. Contoh: Periksa kekontinuan fungsi f berikut. Di titik mana fungsi tersebut diskontinu, jelaskan alasannya. y y = f(x) 3 1 x 2

Jenis-jenis diskontinu: y y = f(x) 3 1 x 2 y y = f(x) x y y = f(x) 3 2 ║x║ 1 x 1 2 3 4 Jenis-jenis diskontinu: 1. diskontinu dapat dipindahkan : Contoh 1 dan 2 2. diskontinu tak hingga: Contoh 3 3. diskontinu lompatan : Contoh 4 Definisi: [Kekontinuan kanan] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b). Fungsi f disebut kontinu kanan di a, bila Definisi: [Kekontinuan kiri] Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila

Definisi: [Kekontinuan pada selang] 1. Fungsi f kontinu pada selang (a,b), jika f kontinu di setiap titik pada selang tersebut. 2. Fungsi f kontinu pada selang [a,b], jika f kontinu di setiap titik pada selang (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi f , jika Teorema: Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a: 1. f + g 2. f - g 3. cf 4. fg 5. f/g, jika g(a)  0. Teorema: Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya: 1. polinom 2. fungsi rasional 3. fungsi trigonometri 4. fungsi akar. Teorema: [Teorema limit fungsi komposisi] Jika f kontinu pada b dan maka Teorema: [Teorema kekontinuan fungsi komposisi] Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g(a), maka fungsi komposisi f  g kontinu pada a.

Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut: Teorema: [Teorema Nilai Antara] Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan N adalah bilangan di antara f(a) dan f(b), maka terdapat c  (a,b) sedemikian sehingga f(c) = N. y y y = f(x) f(b) f(a) y = f(x) N N f(a) f(b) x x a c b a c1 c2 c3 b Catatan: Salah satu kegunaan Teorema Nilai Antara adalah untuk menentukan akar suatu persamaan. Contoh: Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x5 - 3x4 - 2x3 + x + 1 memiliki akar real pada selang [0,1].

7.5 GARIS SINGGUNG, KECEPATAN DAN LAJU PERUBAHAN LAINNYA Kurva C: y = f(x) Titik P (a,f(a)) dan Q (x,f(x)) terletak pada kurva C y y y = f(x) y = f(x) Tali busur Q Q f(x)-f(a) Garis singgung P P x-a x x a x Kemiringan tali busur PQ: Titik Q → titik P, diperoleh garis singgung Kemiringan garis singgung: Jika h = x - a, maka Persamaan garis singgung kurva C di titik P (a,f(a)): Contoh: Tentukan persamaan garis singung dari kurva C yang ditentukan oleh persamaan y = x3 - 2x di titik (1,-1).

Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus Persamaan gerak s = f(t) 7.5.2 Kecepatan Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus Persamaan gerak s = f(t) s f(a+h) - f(a) f(a) f(a) + h Kecepatan rata-rata pada selang waktu [a,a+h]: h → 0, diperoleh kecepatan (sesaat) Kecepatan pada saat t = a: Contoh: Sebuah bola dijatuhkan dari suatu menara yang tingginya 450 meter. Jika persamaan gerak bola adalah s = 4,9 t2, tentukan: a. kecepatan bola setelah 5 detik. b. seberapa cepat bola tersebut bergerak ketika menyentuh tanah.

7.5.3 Laju perubahan lainnya Misalkan peubah y bergantung pada peubah x: y = f(x) Perubahan x: x = x2 – x1 Perubahan y: y = y2 – y1 Rata-rata laju perubahan y terhadap x: x2 → x1, diperoleh kecepatan perubahan (sesaat) y terhadap x Kecepatan perubahan sesaat y terhadap x: Contoh: Biaya produksi (dalam rupiah) x unit komo- ditas tertentu adalah C(x) = 5.000 + 10 x + 0,005 x2. a. Tentukan rata-rata laju perubahan dari C terhadap x ketika produksi diubah: (i). x = 100 sampai x = 105 (ii). x = 100 sampai x = 101. b. Tentukan kecepatan perubahan sesaat dari C terhadap x, untuk x = 100.