1. Sistem koordinat Silinder pada Integral Lipat Tiga    Misalkan diketahui Integral Lipat tiga : Dimana V adalah benda dengan proyeksi di bidang xoy berupa lingkaran Maka integral lipat tiga tersebut dapat juga diselesaikan dengan menggunakan transformasi ke koordinat silinder atau ke koordinat bola.   Sistem koordinat silinder pada integral lipat tiga sebagai berikut : Perhatikan silinder di bawah x2 + y2 = r2 Pada segitiga OPQ : OP= r PQ= y = r sin OQ = x = r cos 2 .z = z . dz dy dx = r dz dr d

Integral lipat tiga = Dimana adalah determinan Jacobi: Maka integral lipat tiga dapat ditransformasikan ke koordinat silinder sebagai berikut :

Hubungan sistem koordinat kartesius dan system koordinat Silinder : x = r cos y = r sin 2 .z = z . dz dy dx = r dz dr d   Maka integral lipat tiga dapat ditransformasikan ke koordinat silinder sebagai berikut : = 2.SISTEM KOORDINAT BOLA: Misalkan diketahui Integral Lipat tiga : Sistem koordinat Bola pada integral lipat tiga sebagai berikut: Perhatikan gambar bola di bawah x2 +y2 +z2 = r2

Perhatikan pada persegi empat ONPM : dengan diagonal OP = r Pada segitiga siku-siku OPM : MP sejajar dan sama dengan ON = r sin OM = z = r cos Pada segitiga siku-siku ONQ : NQ = y = ON sin = r sin sin OQ = x = ON cos = r sin cos Sedangkan dz dy dx = r2 sin dr d d  

Sehingga integral lipat tiga di transformasikan ke sistem koordinat bola menjadi: Dimana adalah determinan Jacobi:

Hubungan sistem koordinat kartesius dan system koordinat bola :   1. Hitung integral lipat tiga Jika V adaah benda yang dibatasi oleh dipotong oleh bidang z = 4 ? Jawab :

2.Hitung integral lipat tiga Jika V benda yang dibatasi oleh perpotongan z = Jawab : Perpotongan kedua kurve z= 6 – Adalah z = 6 – z2 Atau z2 +z – 6 = 0 ( z +3) ( z-2 ) = 0 Z = - 3 ( tidak diapakai ) atau z = 2. Jadi proyeksi benda di bidang xoy adalah Berupa lingkaran dengan jari-jari = 2

. transformasi ke koordinat silinder 3. Hitung integral lipat tiga Jika V adalah benda dibatasi oleh bola diatas bidang z=0   Jawab.

Catatan: . Misal r = 3 sin u .dr = 3 cos u .du

TUGAS 1. Hitung integral lipat tiga   Jika V adalah benda dibatasi oleh bola dipotong oleh z = 1 bagian atas 2. Hitung integral lipat tiga , Jika V adalah kerucut z = dipotong oleh z = 5. 3.Hitung integral lipat tiga Jika V adalah benda dibatasi oleh bola dipotong 4.Hitung integral lipat tiga Jika V adalah bola di bagian atas.