Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Transformasi Laplace

Pengantar Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan.

Tujuan: memahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya; mampu melakukan transformasi berbagai bentuk gelombang sinyal dari kawasan t ke kawasan s. mampu mencari transformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal dari kawasan s ke kawasan t. Tujuan:

Cakupan Bahasan Transformasi Laplace. Tabel Transformasi Laplace. Sifat-Sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik. Diagram Pole-Zero.

Transformasi Laplace Dalam pelajaran analisis rangkaian listrik di kawasan fasor, kita melakukan transformasi fungsi sinus (fungsi t) ke dalam bentuk fasor melalui relasi Euler. Di sini kita akan melakukan transformasi pernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral Fungsi waktu peubah kompleks: s =  + j Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal

Transformasi Laplace Sebelum membahas Taransformasi Laplace lebih lanjut, kita akan mencoba memahami proses apa yang terjadi dalam transformasi ini. Kita lihat bentuk yang ada di dalam tanda integral, yaitu Fungsi waktu Eksponensial kompleks Meredam f(t) jika  > 0 bentuk sinusoidal Jadi perkalian f(t) dengan faktor eksponensial kompleks menjadikan f(t) berbentuk sinusoidal teredam. Integral dari 0 sampai  mempunyai nilai limit. sinusoidal

(1) anak tangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal Transformasi Laplace Bentuk gelombang sinyal yang kita hadapi dalam rangkaian listrik tersusun dari tiga bentuk gelombang dasar yaitu: (1) anak tangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal (1) (2) (3) sinus teredam Setelah menjadi sinus teredam, diintegrasi dari 0 sampai  dan didapat F(s)

Transformasi Laplace Contoh-1 Jika f(t) adalah fungsi tetapan f(t) = Au(t) Dalam contoh fungsi anak tangga, teramati adanya nilai s yang memberikan nilai khusus pada F(s) yaitu s = 0 yang disebut pole. t f(t) Au(t) Re Im X Pole diberi tanda X

Transformasi Laplace Contoh-2 Jika f(t) adalah fungsi exponensial f(t) = Aetu(t) Jika f(t) adalah fungsi exponensial t f(t) Ae-at u(t) Untuk s = , nilai F(s) menjadi tak tentu. Nilai s ini disebut pole Re Im X Pole diberi tanda X

Transformasi Laplace Contoh-3 Jika f(t) adalah fungsi cosinus f(t) = Acost u(t) relasi Euler: t f(t) Acost u(t) Untuk s = 0, nilai F(s) menjadi nol. Nilai s ini disebut zero Re Im X O Untuk s2 = 2, nilai F(s) menjadi tak tentu. Nilai s ini merupakan pole Zero diberi tanda O Pole diberi tanda X

Transformasi Laplace Salah satu sifat Transformasi Laplace yang sangat penting adalah Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari F(s). Tabel berikut ini memuat pasangan fungsi f(t) dan fungsi F(s). Walaupun hanya memuat beberapa pasangan, namun untuk keperluan kita tabel ini sudah dianggap cukup.

Transformasi Laplace impuls : (t) anak tangga : u(t) ramp teredam : [ t eat ] u(t) ramp : [ t ] u(t) sinus tergeser : [sin (t + )] u(t) cosinus tergeser : [cos (t + )] u(t) sinus teredam : [eatsin t] u(t) cosinus teredam : [eatcos t] u(t) sinus : [sin t] u(t) cosinus : [cos t] u(t) eksponensial : [eat]u(t) anak tangga : u(t) 1 impuls : (t) Pernyataan Sinyal di Kawasan s L[f(t)] = F(s) Pernyataan Sinyal di Kawasan t f(t)

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Sifat Unik Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Dengan kata lain Jika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t) adalah V(s), maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk gelombang V(s) adalah v(t).

Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Sifat Linier Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat linier. Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi Laplace-nya adalah dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari f1(t) dan f2(t).

Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Integrasi Misalkan maka bernilai nol untuk t =  karena est = 0 pada t , bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).

Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Diferensiasi Misalkan maka bernilai nol untuk t =  karena est = 0 untuk t  bernilai f(0) untuk t = 0.

Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Translasi Translasi di Kawasan t Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari f(ta)u(ta) untuk a > 0 adalah easF(s). Translasi di Kawasan s Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace dari etf(t) adalah F(s + ).

Sifat-Sifat Transformasi Laplace, Penskalaan, Nilai Awal, Nilai Akhir Pen-skalaan (scaling) Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0 transformasi dari f(at) adalah Nilai Awal dan Nilai Akhir

Pernyataan F(s) =L[f(t)] Sifat-Sifat Transformasi Laplace konvolusi : nilai akhir : nilai awal : penskalaan : translasi di s : translasi di t: A1F1(s) + A2 F2(s) linier : A1 f1(t) + A2 f2(t) diferensiasi : integrasi : linier : A1 f1(t) + A2 f2(t) Pernyataan F(s) =L[f(t)] Pernyataan f(t)

Transformasi Laplace Diagram pole – zero Transformasi Balik

Mencari Transformasi Laplace CONTOH-4: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut: Dengan memanfaatkan tabel pasangan transformasi Laplace, kita peroleh

Mencari Diagram pole-zero CONTOH-5: Gambarkan diagram pole-zero dari Re Im  1 a). Fungsi ini mempunyai pole di s = 1 tanpa zero tertentu. b). Fungsi ini mempunyai zero di s = 2. Pole dapat dicari dari Re Im +j1,8 2 j1,8 c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 + j0. Re Im

Mencari Transformasi Balik Transformasi balik adalah mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari transformasi balik setiap uraian. Hal ini dimungkinkan oleh sifat linier dari taransformasi Laplace

Mencari Transformasi Balik Bentuk Umum F(s) Bentuk umum F(s) adalah Dalam bentuk umum ini jumlah pole lebih besar dari jumlah zero, jadi n > m Jika F(s) memiliki pole yang semuanya berbeda, pi  pj untuk i  j , dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole ganda.

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Sederhana Fungsi Dengan Pole Sederhana Apabila F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan sebagai berikut F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana. k1, k2,…..kn di sebut residu. Jika semua residu dapat ditentukan, maka Bagaimana menentukan residu?

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Sederhana Jika kita kalikan kedua ruas dengan (s  p1), faktor (s p1) hilang dari ruas kiri, dan ruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s p1). Jika kemudian kita substitusikan s = p1 maka semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k1; kita peroleh nilai k1. k2 diperoleh dengan mengakalikan kedua ruas dengan (s  p2) kemudian substitusikan s = p2 , dst.

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Sederhana CONTOH-6: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Sederhana CONTOH-7: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Sederhana CONTOH-8: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut. masukkan s = 0 masukkan s = 1 masukkan s = 4

Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Kompleks Fungsi Dengan Pole Kompleks Dalam formulasi gejala fisika, fungsi F(s) merupakan rasio polinomial dengan koefisien riil. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang berbentuk p =  + j, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang berbentuk p* =   j; sebab jika tidak maka koefisien polinomial tersebut tidak akan riil. Jadi untuk sinyal yang secara fisik kita temui, pole kompleks dari F(s) haruslah terjadi secara berpasangan konjugat. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk Residu k dan k* juga merupakan residu konjugat sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini dapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian fungsi dengan pole sederhana.

Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Kompleks Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks

Memberikan pole sederhana di s = 0 Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Kompleks CONTOH-9: Carilah transformasi balik dari Memberikan pole sederhana di s = 0 memberi pole kompleks

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Ganda Fungsi Dengan Pole Ganda Pada kondisi tertentu, F(s) dapat mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti biasanya. pole ganda pole sederhana

Mencari Transformasi Balik, F(s) Dengan Pole Ganda CONTOH-10: Tentukan transformasi balik dari fungsi:

Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s Courseware Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s Transformasi Laplace Sudaryatno Sudirham