Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -II” 2

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui 3

Sesi 2  Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Parametrik, Fungsi Implisit  Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial 4

Contoh: Contoh ini menunjukkan bahwa Secara Umum: 5 Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi

Contoh: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi 6

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi: 7 Fungsi Rasional

Contoh: (agar penyebut tidak nol) Contoh: 8

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan) dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 Bilangan tidak bulat Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1. 9 Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Kaidah rantai dapat diturunkan terhadap t, dapat diturunkan terhadap x dan Jika dapat diturunkan terhadap t menjadi maka Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk 10 Fungsi Parametrik dan Kaidah Rantai

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. 11 Fungsi Implisit

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh Contoh: kita peroleh turunan Jika 12

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh Contoh: kita dapat memperoleh turunan Untuk 13

maka Jika Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos  x = 1 dan sin  x =  x. Oleh karena itu 14 Turunan Fungsi Trigonometri

maka Jika Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos  x = 1 dan sin  x =  x. Oleh karena itu 15

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. 16

Contoh: Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2  farad merupakan fungsi sinus v C = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah vCvC iCiC vCiCvCiC t [detik] 17

Contoh: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus i L =  0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah vLiLvLiL vLvL iLiL t[detik] 18

x 1 y x 1 y 19 Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

x 1 y x 1 y 20

1 x y 1 x y 21

Jika v = f(x), maka 22 Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

Jika w = f(x), maka 23

Turunan Fungsi Logaritmik didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x x t 1/x 1/t x +Δx 1/(x+Δx) y Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx  1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx  1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx  1/x). ln(x+  x)  lnx Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut 24

Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri dst.. Jika 25

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut: Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx, jika dx  0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: 2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan 1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 26 Diferensial dx dan dy

Penjelasan secara grafis P dx dy  y x Ini adalah peubah bebas Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) P dx dy  y x Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx adalah laju perubahan y terhadap perubahan x. 27 P dx dy  x y P dx dy  x y P dx dy  x y Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. DiferensialTurunan Fungsi 28

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh: sehingga Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas 29

Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika II Sesi 2 Sudaryatno Sudirham 30