Sistem Tunggu (Delay System)

Problems Involving Delay System Analysis Tutun Juhana – ET3042 ITB

Problems Involving Delay System Analysis (2) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Problems Involving Delay System Analysis (3) Proses trafik selama pembangunan hubungan Tutun Juhana – ET3042 ITB

Permintaan panggilan yang datang pada saat peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian diduduki Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara sistem tunggu dan sistem rugi Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi batas akan dihilangkan Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan Tutun Juhana – ET3042 ITB

Let’s revisit some basic concepts Tutun Juhana – ET3042 ITB

Call Origination Process Random origination (dengan kondisi t0) Peluang sebuah panggilan muncul dalam interval (t,t+t] adalah lt (tidak tergantung t) dan l adalah konstan Peluang dua atau lebih panggilan muncul pada selang (t,t+t] adalah nol Setiap panggilan saling bebas n Sufficiently large t=t/n t t t t Tutun Juhana – ET3042 ITB

Random origination (2) Peluang munculnya k panggilan dalam selang waktu (0,t] : pk(t) Ini adalah distribusi Poisson dengan mean lt l adalah arrival rate (laju kedatangan) atau origination rate Konstan Tidak tergantung waktu Random origination disebut juga Poisson Arrival (-call, -input,-origination,-process etc.) Arrival Rate tergantung dari satuan waktu yang digunakan Jika digunakan satuan jam, dinyatakan dalam BHCA (Bussy Hour Call Attempt) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Random origination (3) Peluang tidak ada panggilan yang muncul (k=0) dalam selang (0,t] adalah : Maka interarrival time distribution function (peluang bahwa selang waktu antar kedatangan tidak lebih besar dari t) adalah : Ini merupakan distribusi eksponensial dengan mean l-1 distribusi selang waktu kedatangan eksponensial merupakan sifat lain dari random origination Tutun Juhana – ET3042 ITB

Service Time Distribution Asumsi : Sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan acuan waktu adalah awal munculnya panggilan, maka peluang sebuah panggilan berkahir dalam selang (t,t+t] adalah mt (tidak tergantung t (berdasarkan asumsi panggilan berakhir secara acak ) Fungsi distribusi H(t),yaitu peluang waktu pelayanan lebih besar dari t, adalah sama dengan peluang sebuah panggilan tidak berakhir pada selang (0,t] Serupa dengan proses yang dilakukan sebelumnya (selang (0,t] dibagi ke dalam n bagian (n cukup besar) dan membuat agar t=t/n, maka Dengan demikian waktu pelayanan (service time) terdistribusi secara eksponensial dengan mean m-1 m adalah laju pelayanan (service rate/termination rate) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Beban trafik (intensitas trafik) = l/m Tutun Juhana – ET3042 ITB

Diagram sistem (full availability system) Sistem dinyatakan oleh 3 faktor berikut : Call origination process : mennyatakan bentuk kedatangan Service Mechanism : menyatakan jumlah trunk, distribusi waktu pelayanan dsb. Disipilin antrian : FIFO, LIFO, RSO (Random Service Order) dll. Panggilan meninggalkan sistem (Call termination process/ Service Mechanism) Panggilan datang Server/pelayan (Call origination process) Tempat menunggu Tutun Juhana – ET3042 ITB

Notasi D.G. Kendall: A/B/C Untuk mengklasifikasikan sistem (full availability system), digunakan notasi Kendall Notasi D.G. Kendall: A/B/C A: pola kedatangan panggilan B: pola waktu pelayanan C: Jumlah pelayan (peralatan) Masih dapat ditambahkan keterangan : Kapasitas sistem/jumlah panggilan yang dapat diantrikan/kapasitas buffer/panjang antrian maksimum (tak termasuk yang sedang dalam pelayanan) Jumlah populasi yang ada di dalam sistem Tutun Juhana – ET3042 ITB

Ada yang menggunakan notasi : A/B/C/D/E D : kapasitas (panjang) buffer (antrian) E : Disiplin antrian Bila D dan E tidak dimunculkan berarti :D tak terhingga dan E berarti FIFO Notasi untuk pola kedatangan dan waktu pendudukan M: Distribusi Poisson (M=Markovian) D: Distribusi tetap (Deterministik) G: Distribusi umum (general) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Beberapa masalah mendasar Markov Property Pikirkan suatu durasi waktu selama X dari suatu fenomena (misalnya fenomena waktu pelayanan), lalu ambil titik nol sebagai saat awal dari fenomena tersebut Jika X terdistribusi eksponensial dengan mean m-1, maka peluang fenomena itu berlangsung terus setelah suatu saat tertentu (x) dinyatakan oleh : P{X>x} = e-mx X t x x+t Tutun Juhana – ET3042 ITB

Markov property (2) Maka peluang bersyarat bahwa fenomena terus berlangsung selama perioda t, bila diketahui (dengan syarat) bahwa fenomena sudah berlangsung selama x, dinyatakan oleh : Perhatikan bahwa peluang yang terakhir tidak tergantung x Ini mengandung makna bahwa perilaku stokastik dari fenomena setelah waktu x (future) hanya tergantung pada kondisi pada saat x (sekarang/present) dan tidak tergantung pada proses sebelum waktu x (past) Karakteristik ini disebut Markov Property atau Memoryless Property Hanya distribusi eksponensial yang memiliki sifat memoryless Suatu model yang memiliki waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan terdistribusi eksponensial disebut model Markovian Model (sebaliknya disebut non-Markovian Model) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Rumus J.D.Little L=lW L=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem l=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistem W=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem Tutun Juhana – ET3042 ITB

Rumus J.D.Little (2) Penurunan Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistem Jumlah kedatangan g(to) a(to) d(to) t Tutun Juhana – ET3042 ITB

Rumus J.D.Little (3) a(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu) d(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang berakhir terhadap waktu) g(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t (merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan pelanggan-detik) l(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang waktu (0,t) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Rumus J.D.Little (4) lt=a(t)/t Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam selang waktu (0,t), maka Tt=g(t)/a(t) [pelanggan-detik/pelanggan] Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian selama waktu (0,t) adalah : Nt=g(t)/t = [a(t)/a(t)]xTt/(1/lt) = ltTt Tutun Juhana – ET3042 ITB

Rumus J.D.Little (5) Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t  , maka lt l, Tt  T dan Nt  N, sehingga N= lT Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem antrian=harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem Tutun Juhana – ET3042 ITB

Catatan untuk rumus J.D Little Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarang Jumlah pelayan adalah sembarang Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya Lq=l.Wq Lq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian Wq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian Lp=l.Wp Lp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan Wq=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan Tutun Juhana – ET3042 ITB

Contoh-contoh Bila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang secara acak, hitung Peluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menit Peluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menit Jawab Arrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menit Peluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p0(t)=e-lt = e-12/6= e-2 Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit = Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit adalah = 1-(p0(t)+p1(t)) = 1-(e-2+2e-2) =1-3e-2= 0,5940 Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e-lt = 1 – e-6/6 =1- e-1 = 0,6231 Tutun Juhana – ET3042 ITB

Contoh-contoh (2) Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menit Jawab : Service rate = 1/3 call per menit Peluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e-mt Maka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah = e-(1/3)x6 = e-2 =0,1353 Tutun Juhana – ET3042 ITB

Contoh-contoh (3) Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon, diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit. Hitung : Jumlah telepon rata-rata yang digunakan Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang menunggu Jawab Arrival rate = l =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit Service rate = m = 1/3 Traffic load = l/m = (5/6)x3 = 2,5 Erlang Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5 Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little Diketahui L=1,2 maka W=L/l =1,2/(5/6)=1,44 menit Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem M/M/S/0 (Markovian Loss System) Jumlah server s Service rate m s Arrival Rate l Ini model untuk jaringan telepon Menghasilkan Distribusi Erlang Tutun Juhana – ET3042 ITB

Kedatangan panggilan : Poisson arrival Sistem Antrian M/M/1 Kedatangan panggilan : Poisson arrival Service time : exponentially distributed Jumlah server : 1 Panjang antrian : tak terhingga Diagram transisi kondisi l l l l l l N+1 1 2 N m2 m3 mN mN+1 m1 perhatikan Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem Antrian M/M/1 (2) Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi dinyatakan oleh hukum konservasi dari aliran peluang : l0 P0 = m1 P1 untuk k=0 (lk + mk)Pk = lk-1Pk-1 + mk+1Pk+1 untuk k  1 Aliran menuju kondisi k, baik yang berasal dari kondisi k-1 maupun dari kondisi k+1 Aliran meninggalkan kondisi k bila sistem dalam kondisi k dengan peluang Pk Tutun Juhana – ET3042 ITB

Persamaan di atas disebut local balance equations Sistem Antrian M/M/1 (3) Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang berdekatan dapat ditulis sbb : lk-1Pk-1 = mk Pk lkPk = mk+1 Pk+1 Persamaan di atas disebut local balance equations Kita akan memanfaatkan local balance equations untuk memperoleh peluang kondisi k (Pk) Tutun Juhana – ET3042 ITB

Dari local balance equations kita peroleh : Sistem Antrian M/M/1 (4) Dari local balance equations kita peroleh : l0P0 = m1 P1, l1P1 = m2 P2,…,lkPk = mk+1 Pk+1,… dan Karena , maka Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem Antrian M/M/1 (5) Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak tergantung kondisi k (ini berarti lk=l dan mk=m), maka Pk dapat dinyatakan sbb : Dimana Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem Antrian M/M/1 (6) Beberapa paramater hasil analisa sistem M/M/1 : Jumlah rata-rata panggilan di dalam sistem, E(k): Waktu tunggu rata-rata, E[w]: Delay rata-rata yang dialami oleh panggilan=waktu tunggu rata-rata ditambah waktu pelayanan rata-rata = E[d] : Jadi jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem, E[k], dapat juga dihitung sbb : E[k]=lE[d]=r/(1-r) (Ingat hukum Little) Utilisasi server,h,didefinisikan sebagai peluang server sibuk (k0), yaitu : Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem Antrian M/M/1 (7) Contoh : suatu web server yang digunakan sebagai search engine menerima jumlah permintaan (request) per jam sebanyak 144.000. Server memerlukan waktu 0,02 detik untuk mengolah setiap request. Pertanyaan : Berapa utilisasi server ? Berapa jumlah request rata-rata di dalam server? Berapa bagian dari waktu bahwa ditemukan k search request di server? Jawab Average service rate = m = 1/0,02=50 request/detik Average arrival rate = l = 144.000 request/jam = 40 request/detik Utilisasi server = l/m =0,8 = 80 % Jumlah rata-rata request di dalam server = 0,8/(1-0,8) = 4 Bagian dari waktu dimana terdapat k searh request di server = Pk=(1-r)rk =(1-0,8)0,8k =0,2.0,8k dimana k=0,1,… Tutun Juhana – ET3042 ITB

Sistem Antrian M/M/1 (8) Pertanyaan lain : Jawaban : Berapa waktu respons rata-rata dari server? Hitung rata-rata respons time bila server search engine diganti dengan server yang memiliki kecepatan dua kali lebih cepat? Hitung rata-rata respons time bila arrival rate menjadi dua kali dan server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat? Jawaban : Respons time rata-rata = delay rata-rata yang dialami request = 1/[m(1-r)] = 1/[50(1-0,8)]=0,1 detik Bila server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat, maka service time rata-rata menjadi = 0,02/2 = 0,01 Maka service rate menjadi = m = 1/0,01 = 100 dan utilisasi (r) menjadi =40/100 = 0,4 Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,4)] = 0,017 detik Jika arrival rate dan kecepatan server menjadi dua kali, maka : Service rate = m = 100 dan l menjadi 80, maka r =80/100 = 0,8 Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,8)] = 0,05 detik Tutun Juhana – ET3042 ITB