BAB III Metode Simpleks Oleh : Devie Rosa Anamisa

Pembahasan Pengertian Umum Langkah-langkah metode simpleks Contoh

Pengertian Umum Motode simpleks adalah prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum.

Langkah-Langkah dalam Metode Simpleks Formulasi dalam bentuk standar Konversi pada bentuk standart Dalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah: Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang non negatif Seluruh variabel harus merupakan variabel non negatif Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi Formulasi yag belum standar kedalam bantuk standar : a. Pembatas (constraint) Pembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut. Contoh 1: X1 + 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6

Contoh 2 : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 maka harus dikurangkan variabel s2 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3x1 + 2x2 – 3x3 – s2 = 5 Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1. Contoh : 2x1-3x2-7x3 = -5 secara matematis adalah sama dengan -2x1+3x2+7x3 = 5 Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1. Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4 2x1 – x2 ≤ -5 adalah sama dengan -2x1 + x2 ≥ 5 b. Variabel Suatu variabel Yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi. c. Fungsi Tujuan Walaupun model standar LP dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Menentukan solusi basis BFS (Solusi Basis Fisibel) Dimana diterapkan X1 = X2 = X3 = 0 sehingga didapatkan nilai Z, S1, S2, S3 dan S4. BV (Basis Variabel) Menentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti : Z, S1, S2, S3 dan S4 NBV (Non Basis Variabel) variabel yang dinolkan. Seperti X1, X2, dan X3. Dari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh NBV mempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga pada iterasi ini BFS belum optimal. Contoh : Z – 60X1 – 30X2 – 20X3 = 0 Menghitung rasio dan melakukan ERO Didapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien yang paling negatif Entering variabel(EV). contoh : z - 60x1- 30x2 – 20x3 = 0 8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 r = 48/8 4X1 + 2X2 + 1.5X3 +S2 = 20 r = 20/4 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 +S3 = 8 r = 8/2 EV

Menentukan LV (Leaving Variabel) variabel yang meninggalkan basis, yang memiliki rasio yang terkecil dengan EV bernilai 1. Iterasi akan berhenti jika X1, X2, X3 pada fungsi tujuan mencapai nilai positif.

Contoh Maksimumkan : Z = 60x1+30x2+20X3 berdasarkan :

Konversi bentuk standar: maksimumkan : z = 60x1+30X2+20x3 Berdasarkan : 8X1 + 6X2 + X3 + s1= 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 + s2 = 20 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + s3 = 8 x2 + s4 = 5

Menentukan BFS x1=x2=x3=0 BV = {z,s1,s2,s3,s4} NBV= {x1,x2,x3} BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0 8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 20 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + S3 = 8 x2 +S4 = 5 .: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5

Bentuk Tabel Dilihat dari Z maka X1 yang memiliki koefisien paling negatif

Menentukan LV  rasio terkecil : 4 maka: Menghitung rasio: Menentukan LV  rasio terkecil : 4 maka: Rasio terkecil

Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1 Nilai basis untuk kolom ke-3: Baris 1: -30-(-60*0.75) = -30-45 = 15 Baris 2: 6-(8*0.75) 6 – 6 = 0 Baris 3: 2-(4*0.75) = 2 -3 = -1 Baris 4:1-(0.0.75) = 1

Nilai basis untuk kolom 4 : Baris 1: -20-(-60*0.25) = -20+15= -5 Baris 2: 1-(8*0.25) = 1 – 2 = -1 Baris 3: 1.5-(4*0.25) =1.5 - 1 = 0.5 Baris 4:0-(0*0.25) = 0

Solusi Sementara Karena nilai z masih terdapat yang bernilai negatif sedangkan fungsi tujuan adalah memaksimumkan maka dilakukan langkah selanjutnya, dan akan berhenti jika nilai z tidak terdapat negatif.

Hasil Akhir

Tugas Memaksimumkan : Z = 3x1 + 9x2 Berdasarkan : x1 + 4x2 ≤ 8 Carilah x1,x2,s1.s2 dan z !

Memaksimumkan : Z = 3x1 + 5x2 Berdasarkan : x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1,x2 ≥ 0 Cari x1, x2 dan z !

Terima Kasih