OPTIMASI DENGAN KENDALA KESAMAAN Oleh : TIM Matematika

BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2 II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X22 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2X2 Y = 5. 0,8X1. 0,4X2

Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2 Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2 Lanjutan: 2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2a2 Contoh: Y = 50.X10,7.X20,4 2.4. Fungsi Transedental : Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2 Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2

BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA Fungsi Tak Berkendala Fungsi Berkendala

PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA Contoh : Fungsi Keuntungan : π = Keuntungan Q1 = Output Q1 Q2 = Output Q2

Dari fungsi ini : Variabel Q1 dan Q2 independen (tidak saling tergantung) Besaran Q1 dan Q2 tidak ada pembatas Titik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”

Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0

Substitusi (1) & (2), didapat :

PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan; ……… Fungsi Tujuan

Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

Lanjutan: Keuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala”

Cara menentukan titik optimum terkendala : Lanjutan: Cara menentukan titik optimum terkendala : 1. Cara substitusi (eliminasi) 2. Pendekatan diferensial total 3. Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

PENGERTIAN DAN EFEK DARI SUATU KENDALA (PEMBATAS) Dalam usaha mencapai suatu tujuannya, perusahaan /produsen atau konsumen selalu menghadapi kendala atau pembatas. Contoh (1): Untuk mencapai keuntungan maksimum sebagai Fungsi Tujuan: Menghadapi kendala terbatasnya kapasitas produksi (kuota produksi) Q1+ Q2 = 950

Contoh (3) : Untuk mencapai kepuasan maksimum (Fungsi Utilitas Sebagai Fungsi Tujuan): Menghadapi kendala terbatasnya anggaran (Budget-Line sebagai persamaan pembatas);

Contoh (2): Untuk memaksimum produksi (Isoquant sebagai Fungsi Tujuan) : Menghadapi kendala terbatasnya biaya (Iso-cost) sebagai persamaan pembatas) :

Dengan adanya kendala-kendala tersebut, maka : (1). Variabel bebas (Q1 dan Q2) saling tergantung. Contoh: kendala terbatasnya kapasitas produksi (kuota produksi): Q1+ Q2 = 950 Q1 naik maka Q2 turun, atau sebaliknya Q1 turun dan Q2 naik. (2) Titik optimum fungsi disebut “Titik Optimum Terkendala”

I. FUNGSI UTILITAS U = f (Q1, Q2)………Fungsi Tujuan P1.Q1 + P2.Q2 = C…..Pers.Kendala. Fungsi Lagrange: U = f(Q1,Q2) + λ (C – P1.Q1 – P2.Q2)

Lanjutan: Turunan Pertama dari Fungsi Lagrange:

Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : Lanjutan: Fungsi Utilitas Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60. Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): Q2 BL: Pers.Kendala (garis Anggaran) Q2* I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu) Q1 Q1*

Cara Menentukan Nilai Optimum: (1). Metode Substitusi/ Eliminasi; (2). Metode Diferensial Total; (3). Metode Pengali Lagrange.

Ad.(1). Metode Substitusi: Fungsi Tujuan: U = Q1.Q2 + 2Q1……………(1) Persamaan Kendala: 4Q1+ 2Q2 = 60; kendala diubah: 2Q2 = - 4Q1 + 60 Q2 = -2Q1 + 30…………..... (2)

Substitusikan (1) ke (2): U = Q1 (-2Q1 + 30) + Q1 U = -2Q12 +30Q1 +2Q1 U = -2Q12 + 32 Q1 ………….(3) Turunan (Derivatif) Pertama = 0 U’ = dU/dQ1 = - 4Q1 +32 = 0 - 4Q1 + 32 = 0 ……Q1* = 8

Substitusikan Q1* ke persamaan (1): Q2 = -2Q1 + 30= -2(8)+30 …….Q2* = 14. U* = Q1.Q2 + 2Q1 = 8.14 + 2.8 ………U* = 128.

Ad.2. Metode Diferensial Total : Diketahui Fungsi Tujuan: U = Q1.Q2 + 2Q1. Persamaan Kendala: 4Q1+ 2Q2 = 60; Tentukan : Q1 dan Q2..............? Jawab: Kondisi Optimum Dicapai Pada Saat: (dU/dQ1)/P1 = (dU/dQ2)/P2 MU1/ P1 = MU2/ P2 Dari Contoh Soal di atas: MU1 = dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 MU2 = dU/dQ2 = f2 = Q1

Dengan Menggunakan Rumus : MU1/ P1 = MU2/ P2 (Q2 + 2)/ 4 = (Q1)/ 2 Lanjutan: Persamaan Kendala : 4Q1 + 2Q2 = 60; jadi: P1 = 4 dan P2 = 2. Dengan Menggunakan Rumus : MU1/ P1 = MU2/ P2 (Q2 + 2)/ 4 = (Q1)/ 2 2Q2 + 4 = 4Q1 Q1 = ½ Q2 + 1 …………………(1)

Substitusikan (1) ke Pers.Kendala: Persamaan (1) substitusikan ke persamaan kendala: 4(1/2Q2 + 1) + 2Q2 = 60 .....4Q2 = 56.....Q2* = 14. Substitusikan Q2*=14 ke persamaan (1): Q1* = ½ (14) + 1 jadi : Q1* = 8 Untuk Menentukan λ* : λ* = f1/ P1 atau λ* = f2/ P2

λ* = f1/Pq1 =(Q2+ 2)/ 4 = (14+2)/ 4 = 4 atau λ* = (Q1)/ 2 = 8/2 = 4. Lanjutan : Untuk Menentukan λ* : λ* = f1/ P1 atau λ* = f2/ P2. λ* = f1/Pq1 =(Q2+ 2)/ 4 = (14+2)/ 4 = 4 atau λ* = (Q1)/ 2 = 8/2 = 4.

Ad.3. Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2). Turunan Petama Fungsi = 0. dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1) dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2) dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)

Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : Subtitusikan (1) ke (2): Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1) (2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2) Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0 (2)....2Q1 - 4 λ = 0. jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)

Substitusikan (a) ke Persamaan kendala: dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3) Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 0 60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8. (3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 0 28 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.

Cara Pembuktian Optimum Maksimum atau Minimum: Menggunakan Determinan Hessian Bertepi (Burder Hessian): 0 g1 g2 H = g1 f11 f12 Apabila: H > 0 (Maks) g2 f21 f22 H = 0 (Tdk) H < 0 (Min)

Turunan Kedua (Turunan dari f1 dan f2): Lanjutan: Turunan Kedua (Turunan dari f1 dan f2): dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …..…(1) df1/dQ1 = f11 = 0 ; dan df1/dQ2 = f12 = 1. dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...……(2) df2/dQ1 = f21 PQ1 = g1 = 4 dan PQ2 = g2 = 2. = 1 dan df2/dQ2 = f22 = 0.

Lanjutan: 0 4 2 H = 4 0 1 ; 2 1 0 H = 0.0.0 + 4.1.2 + 2.1.4 – (2.0.2) – (4.4.0) – ( 0.1.1) ………H = 16 > 0 (Optimum Maksimum)

II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan (Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost) Dengan Kendala Quota Produksi: Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)

Fungsi Lagrange: C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1) dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2) dC/d λ = f3 = 0 ………….(3) Solusi Optimal: a. Metode Substitusi; b. Metode Diferensial Total c. Metode Pengali Lagrange.

Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6 X12 + 3X22 Contoh Soal : Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6 X12 + 3X22 Dengan Kendala: X1 + X2 = 18 Tentukan : Nilai X1*, X2* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6 X12 + 3X22 + λ ( 18 – X1 – X2) Turunan Pertama = 0 dC/ dX1 = f1 = 12X1 – λ = 0……….(1) dC/ dX2 = f2 = 6X2 - λ = 0…………(2) dC/ d λ = f3 = 18 –X1 – X2 = 0 ..…(3)

Solusi optimal dengan Metode Determinan: Persamaan Matriks Persamaan Turunan I: 12 0 -1 X1 0 0 6 -1 X2 = 0 -1 -1 0 λ -18 Rumus : X1 = IX1I / IPI; dan X2 = IX2I / IPI; λ = I λI / IPI ;

Menentukan Determinan: IX1I = 0 0 -1 = …….? 0 6 -1 -18 -1 0 IX2I = 12 0 -1 = ……..? 0 0 -1 -1 -18 0

IλI = 12 0 0 = ………..? 0 6 0 -1 -1 -18 X1 = IX1I / IPI = ……; Lanjutan: IλI = 12 0 0 = ………..? 0 6 0 -1 -1 -18 X1 = IX1I / IPI = ……; X2 = IX2I / IPI = ……; Xλ = I λI / IPI = …….;

Menentukan Optimum Maksimum/ Minimum: f1 = 12X1 – λ …….f11 = 12 dan f12 = 0; f2 = 6X2 – λ ………f21 = 0 dan f22 = 6. Pers. Kendala: 1.X1 + 1. X2 = 18; jadi: g1 = 1 dan g2 = 1. Determinan Hessian Bertepi: 0 1 1 H = 1 12 0 = - 18 < 0 (Minimum). 1 0 6

SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA 1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2; dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18; Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6Q12 + 3Q22; dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q12+2Q22-Q1.Q2; dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: Soal latihan 4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X12 +10X1.X2-7X22+40X1; kendala X1+X2=1. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X12+5X1.X2-4X22, dengan kendala: 2X1+3X2=74. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Lanjutan: Soal jawab 6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: Lanjutan: Soal jawab 7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala: 2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan : a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 – 2Q12 – Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 – Q12 – Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Lanjutan: Soal jawab 10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2. Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan: Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; Tentukan U optimum; Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.

Lanjutan: soal latihan 11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4Q1Q2 – Q12 – 3Q22 Fungsi Anggaran : 2Q1 + 3Q2 = 45 Tentukan: a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.

lanjutan TERIMAKASIH