Sistem SDOF dengan getaran bebas TANPA REDAMAN

GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN STRUKTUR HANYA MENGALAMI GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN

Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam m.a + k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos ft Sehingga : dx/dt = - fE sin ft dx2/dt2 = - f2 E cos ft Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0 - mf2 E cos ft + k E cos ft = K cos ft - mf2 E + k E = K E = K / (k - mf2) Maka Jawab Umum x = K cos ft K – mf2

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah : x = A cos wt + B sin wt x = -Aw sin wt + Bw cos wt dimana w = √ k/m (frekwensi alami) Pada gerak ini : C = 0 karena tidak ada faktor peredam F(T) = 0 karena getarnya bebas .

FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana : w = √ (k/m) f = w / 2p Kebalikan dari frekwensi natural adalah Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus T = 1/f = 2p / w

PERPINDAHAN YANG TERJADI Y= C sin (wt + a ) atau Y = C cos (wt - b ) Dimana : C ={ yo2 + (V0/w)2}1/2 Tan a = yo/ (vo/w) Tan b = vo/w yo

Sistem SDOF dengan getaran bebas b. DENGAN REDAMAN

SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF Persamaan Umum ; m.a + c.v +k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + c.v + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept Sehingga : ma + cv +kx = 0 m Cp2 ept + c Cp ept +k C ept = 0 Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik : m p2 + c p + k = 0 Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah : p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m)2 – k/m}

Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t Dimana : C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.

REDAMAN YANG TERJADI REDAMAN SUB KRITIS REDAMAN KRITIS REDAMAN SUPERKRITIS

PENYELESAIAN PERSAMAAN AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah : y(t) = C1ept + C2 ept Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi

SISTEM REDAMAN ADA TIGA JENIS REDAMAN : Sistem redaman kritis (Critical Damped System) Sistem redaman superkritis (Overdamped System) Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

Redaman kritis Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0 ( ccr/2m)2 – k/m = 0 ccr = 2 √km Dimana Ccr = harga redaman kritis karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m maka koefisien redaman kritis ccr = 2m ω = 2k / ω

Redaman Kritis Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - ccr /2m Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah : y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t Superposisi dari keduanya : y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t

Dimana : m = masa beban / sistem k = kekakuan struktur Y = perpindahan yang terjadi Ccr = redaman kritis P12 = akar persamaan yang terbentuk C12 = konstanta yang terbentuk akibat penyelesaian persamaan diferensial W = frekuensi natural

REDAMAN SUB KRITIS Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C<Ccr) Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah bilangan kompleks (mengandung bilangan imaginer) p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m (complex value) Dimana persamaan euler utk menghubungkan PD dgn pers trigonometrik adalah eix = cos x + i sin x e-ix = cos x – i sin x

Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt + B sin wDt) Dimana Frekwensi System: wD =√ { k/m – (c/2m)2} atau wD = w √(1-ξ2) Dengan w = √ k/m ( frekwensi Natural) ξ = c / cr ( Ratio Redaman) Dan c = adalah redaman yang terjadi (kondisi subkritis)

Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt) Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a) Dimana : C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2) tan a = (vo+yoξw)/wDyo) wD adalah frekwensi sistem dengan redaman

Periode Redaman Getaran Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran TD = 2p / wD = w √(1-ξ2) Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau Nilai ξ = 0,2 dan wD = 0,98 w

PENGURANGAN LOGARITMIS Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas d = ln y1/y2 Sehingga untuk y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a) dan y1 = C e-ξwt1 y2 = C e-ξwt(t1+Td) Maka d = ln y1/y2 = ξwtD atau d = 2pξ / √ (1- ξ2) utk ξ yg sangat kecil maka d = 2pξ

REDAMAN SUPERKRITIS Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis c > ccr Sehingga nilai akar persamaan ( P1,2) bernilai real dan berbeda Maka perpindahan yang terjadi adalah y(t) = C1 e p1t + C2 e p2t

CONTOH Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y1=1,0 dan y2=0,85 Hitung a. Frekwensi Natural b. Pengurangan Logaritmis c. Ratio Redaman d. Koefisien Redaman e. Frekwensi teredam

Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan) Frekwensi Natural w = √ (k/m) = √ 20x10 /10 Pengurangan Logaritmis d = ln y1/y2 = y1= ln (1,0/0,85) Ratio Redaman d = 2pξ shg ξ = d /2p Koefisien Redaman ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr Frekwensi Teredam wD = w √(1-ξ2) W = 10 N, kekakuan 20 N/m ccr = 2 √km d = 2p d = 2pξ y1=1,0 dan y2=0,85 d = ln y1/y2 ξ = c / cr