Kuswanto, 2012

Sebaran Peluang kontinyu  Sebagian besar kegiatan di alam ini mengikuti sebaran kontinyu  Salah satu sebaran kontinyu adalah sebaran normal.  Sebaran normal menjadi syarat untuk dilakukan Analisis varian, dalam Perancangan Percobaan.  Contoh sebaran kontinyu : luas lahan, tinggi tanaman, tebal lapisan olah tanah, bobot buah, diameter batang, hasil panen dll

Perbedaan dg sebaran diskrit  Berbeda dengan sebaran peluang diskrit, apabila X kontinyu, maka : P(a< X  b) = P(a < X < b) + P (X=b) = P (a < X < b) = P (a < X < b)  Dimana tidak ada bedanya apakah kita memasukkan titik ujung selang atau tidak.  Pada sebaran kontinyu tidak ditentukan batas tegas antara titik b dan titik <b.  Contoh : berapakah batas tegas antara 2 dan kurang dari 2?? Tentu tidak dapat didefinisikan.

Fungsi kepekatan  Sebaran ini tak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dapat dalam bentuk rumus yang dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinyu dan disebut fungsi kepekatan peluang atau disingkat fungsi kepekatan  Secara lengkap akan dijelaskan kemudian

Sebaran NORMAL  Sebaran peluang kontinyu yang paling penting dalam bidang statistika adalah sebaran normal.  Grafiknya disebut kurva normal, yaitu grafik berbentuk genta (shape-bell) seperti yang terlihat di bawah.  Grafik ini digunakan banyak sekali untuk gugusan data yang terjadi di alam, industri dan penelitian.  Bentuk persamaan kurva normal :

Bentuk persamaan normal f(x) = untuk -  < x < ,  = 3,14159, e = 2,71828 f(x) bentuk kurva normal (shape-bell) Dibidang pertanian, kita akan lebih sering menerapkan rumus tersebut. Yang tertarik mempelajari asal usul rumus tersebut, dapat membaca di buku-buku statistika

Ciri kurva normal μ -σ μ μ+σ •ada 2 parameter, yaitu  (mean) dan  (sigma=standar deviasi) •grafiknya disebut kurva normal  lihat gambar dibawah Ciri : - simetris terhadap μ - mempunyai titik belok x = μ + σ Distribusi normal dituliskan dengan X ~ N (μ, σ) Dibaca : X menyebar normal, dengan rerata mu dan standar deviasi sigma

Distribusi normal baku  Fungsi normal juga sudah ditabelkan, tetapi khusus untuk μ=0 dan σ=1.  Dapat diakses darin internet, atau dari buku statistika.  Distribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi 1 disebut Distribusi Normal Baku dan diberi notasi Z~N(0,1) dan Z = (x- μ)/σ  Yang tersedia tabel P(Z ≤ zo)

Gambar distribusi Z (normal baku)

Luas kurva distribusi normal baku Mengingat distribusi normal mempunyai sifat simetris dan luas dibawah kurva sama dengan 1, maka P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 0,5

Contoh tabel normal

Contoh :  a. Hitung peluang P(Z 1,37)  Dengan melihat tabel kurva normal  P(Z<1,37) = 0,9147 artinya peluang terjadinya Z<1,37 adalah 0,9147  P(Z>1,37) = 1 - P(Z 1,37) = 1 - P(Z<1,37) = 1 - 0,9147 = 1 - 0,9147 = 0,0853 artinya peluang terjadinya Z>1,37 = 0,0853 artinya peluang terjadinya Z>1,37 adalah0,0853 adalah0,0853 1, ,9147

b. P(-1,55 ≤ Z ≤ 1,60) = P(Z ≤1,60) - P(Z ≤-1,55) = 0, ,0606 = 0,8846 (apa artinya?) = 0, ,0606 = 0,8846 (apa artinya?) -1,55 1,60 0,8846 c. Tentukan harga Zo sedemikian hingga P(Z>Zo) = 0,025 Dengan cara dibalik, maka P(Z ≤ Zo) = 1 - 0,025 = 0,975 (apa artinya?) Dicari di tabel (ingat soal dibalik)  Zo = 1,96

Normal baku  Karena Distribusi normal X ~ N (μ, σ) dengan transformasi menjadi baku Z = x-μ maka Z ~ N (0,1) Z = x-μ maka Z ~ N (0,1) σ   Soal d. Rata-rata kalori humburger yang dihidangkan untuk makan siang adalah 200 dengan standar deviasi 5. Bila kalori mengikuti distribusi normal, tentukan : P(X>208) dan P(190< x <200)  Jawab: P(x>208) = P[(x-200)/5] > ( )/5] = P(Z>1,6) = P(Z>1,6) = 1 - P(Z ≤ 1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548 (artinya peluang kalori humberger >208 kal adalah 0,0548) = 1 - P(Z ≤ 1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548 (artinya peluang kalori humberger >208 kal adalah 0,0548)

Soal kedua P(190< x <200) = P[( )/5 < (x-200)/5 < ( )/5] (x-200)/5 < ( )/5] = P(-2 < Z < 0) = 0,5 - P(Z<-2) = 0,5 - 0,0228 = 0,4772 (apa artinya?) (apa artinya?)

Bila diambil contok acak n  Dari teorema limit pusat, misalkan diambil contok acak berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai mean μ dan standar deviasi σ, maka x1+ x2 + x3 + …+ xn x1+ x2 + x3 + …+ xn  x = n  akan mempunyai distribusi normal dengan mean μ dan varian σ²/n  Dalam praktek n  ∞, dapat didekati untuk n ≥ 30.  Teorema limit pusat ini membuat peranan distribusi normal menjadi penting.

Dengan pengambilan contoh acak n, maka bentuk kurva normal dapat dilukiskan sebagai : σ biasanya juga tidak diketahui dan bisa diduga s (standar deviasi contoh) μ-σ/n μ μ+σ/n titik belok

Contoh :  Suatu populasi mempunyai rata-rata = 82 dan standar deviasi =12. Diambil contoh acak sebanyak n = 64. Tentukan P(80,8 ≤  x ≤ 83,2) dan P(  x > 93,2).  Menurut teorema limit pusat  x ~ (82,144/64) dimana μ = 82 dan σ x = σ/√n = 12/8 = 1,5, maka P(80,8 ≤  x ≤ 83,2) = P[(80,8-82)/1,5 ≤ (  x -82)/1,5 ≤ (83,2-82)/1,5] = P(-1,2/1,5 ≤ Z ≤ 1,2/1,5) = P(-1,2/1,5 ≤ Z ≤ 1,2/1,5) = P(-0,8 ≤ Z ≤ 0,8) = P(-0,8 ≤ Z ≤ 0,8) = P(Z ≤ 0,8) - P(Z ≤ -0,8) = P(Z ≤ 0,8) - P(Z ≤ -0,8) = 0, ,2119 = 0, ,2119 = 0,5762 = 0,5762 (peluang rerata 80,8 ≤  x ≤ 83,2 adalah 0,5762)

 P(  x > 93,2) = P[(x-82)/1,5 > (93,2-82)/1,5] = P(Z> 11,2/1,5) = P(Z > 7,46) = 1 - P(Z ≤ 7,46) = = 0 (apa artinya?) (apa artinya?)

The Normal Distribution: There is an equation which describes the height of the normal curve in relation to its standard dev (  ) X  22 33 22 33 68.27% 95.44% 99.73% f

ƒ μ = 0 Normal distribution with σ = 1, with varying means μ = 1 μ = 2 5 If you get difficulties to keep this term, read statistics books

ƒ σ = 1 σ = 1.5 σ = 2 Normal distribution with μ = 0, with varying standard deviations

Exercises, normal distribution 1. For the standard normal random variable Z, find P(Z < 0,42), P(-1,2 < Z < 2,1), P(  Z  < 1,64) 2. Find z-value in each of the following cases : P( Z < z ) = 0,1736 P(Z > z ) = 0,10 P(-z < Z < z) = 0,954 P(-0,6 < Z < z ) = 0,50

3. Scores on certain nationwide college entrance examination follow a normal distribution with a mean of 500 and a standard deviation of 100. Find the probability that a student will score : Over 650 Less than 250 Between 325 and 675

Soal 4. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam. Tunjukkan luas daerahnya dalam gambar sebaran normal. 5. Find normal distribution cases in your daily needed, at least 2 cases. You must be explain it completely, consist of stetement, sample of data and the figure illustration. Write all in English fluently.