BAB 8 Estimasi Interval Kepercayaan Statistika Bisnis BAB 8 Estimasi Interval Kepercayaan Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Tujuan Kuliah Pada Bab ini Anda akan belajar: Membangun dan menginterpretasikan estimasi interval kepercayaan untuk mean dan proporsi Bagaimana menentukan ukuran sampel dari interval kepercayaan mean atau proporsi Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan Isi dalam bab ini: Interval Kepercayaan untuk Population Mean, μ Ketika simpangan baku populasi σ diketahui Ketika simpangan baku populasi σ tidak diketahui Interval Kepercayaan untuk Proporsi Populasi, π Menentukan Ukuran Sample Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Poin Estimasi dan Interval Poin estimasi berupa angka tunggal, Interval kepercayaan menghasilkan informasi tambahan tentang variasi mean dari populasi Limit atas interval kepercayaan Limit bawah interval kepercayaan Poin Estimasi Lebar dari Interval Kepercayaan Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Poin Estimasi μ X π p Mean Proportion Kita bisa memperkirakan Population Parameter … Dengan Sample Statistic (Poin Estimasi) μ X Mean π Proportion p Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Proses Estimasi Random Sample Population Saya 95% yakin bahwa μ diantara 40 & 60. Random Sample Population Mean X = 50 (mean, μ, is unknown) Sample Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan Interval Kepercayaan Population Population Mean Proportion σ Tidak diketahui σ Diketahui Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh 11 sampel circuits dari populasi yang besar dan normal mempunyai rata-rata hambatan 2.2 ohm. Diketahui dari penelitan bahwa simpangan baku populasi adalah 0.35 ohm. Tentukan dengan tingkat kepercayaan 95% rata-rata populasi hambatan. Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Poin Estimasi ± (Nilai Kritis)(Standard Error) Formula Umum Formula umum untuk estimasi tingkat kepercayaan adalah: Poin Estimasi ± (Nilai Kritis)(Standard Error) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Level Kepercayaan untuk μ (σ diketahui) Asumsi Simpangan baku populasi σ diketahui Populasi terdistribusi normal Bila populasi tidak normal, gunakan ukuran sampel yang besar Estimasi Level Kepercayaan: where : poin estimasi Z : nilai kritis distribusi normal untuk probabilitas /2 dalam setiap tail (ekor) : standard error Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Level Kepercayaan, (1-) (lanjutan) Contoh level kepercayaan = 95% Bisa juga ditulis (1 - ) = 0.95  adalah level signifikansi  = 0.05 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menemukan Nilai Kritis, Z Level Kepercayaan 95% : Z= -1.96 Z= 1.96 Z units: Lower Confidence Limit Upper Confidence Limit X units: Point Estimate Point Estimate Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Confidence Coefficient, Level Kepercayaan Biasanya menggunakan level kepercayaan 90%, 95%, dan 99% Confidence Coefficient, Level Kepercayaan Z value 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.998 0.999 1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08 3.27 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh (lanjutan) 11 sampel circuits dari populasi yang besar dan normal mempunyai rata-rata hambatan 2.2 ohm. Diketahui dari penelitan bahwa simpangan baku populasi adalah 0.35 ohm. Solution: Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interpretasi Kita yakin dengan level kepercayaan 95% bahwa rata-rata populasi hambatan antara 1.9932 dan 2.4068 ohm. Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan Confidence Intervals Population Mean Population Proportion σ Known σ Unknown Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan untuk μ (σ tidak diketahui) Bila simpangan baku populasi σ tidak diketahui, kita bisa subsitusi memakai simpangan baku sampel, S Kemudian kita memakai distribusi t, bukan distribusi normal Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan untuk μ (σ tidak diketahui) (lanjutan) Asumsi Simpangan baku Populasi tidak diketahui Populasi terdistribusi normal Bila populasi tidak terdistribusi normal, ambil ukuran sampel yang besar Memakai Distribusi t (Student’s t Distribution) Estimasi Interval Kepercayaan: (dimana t adalah nilai kritis dari distribusi t dengan n -1 adalah derajat kebebasan dan area α/2 dalam setiap tail)

Student’s t Distribution Nilai t tergantung dari derajat kebebasan / degrees of freedom (d.f.) Jumlah pengamatan yang bebas bervariasi setelah mean sampel dihitung d.f. = n - 1 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Degrees of Freedom (df) Ide: Jumlah pengamatan yang bebas bervariasi setelah mean sampel dihitung Contoh: mean dari 3 angka adalah 8.0 X1 = 7 X2 = 8 Berapa X3? If the mean of these three values is 8.0, then X3 must be 9 (i.e., X3 is not free to vary) disini, n = 3, sehingga derajat kebebasan = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 angka bisa berapa saja, tapi angka yang ketiga tidak bisa dipilih bebas) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Student’s t Distribution Catatan: t Z bila n meningkat Standard Normal (t with df = ∞) t (df = 13) Distribusi-t berbentuk lonceng dan simetrik, tapi mempunyai ekor yang lebih gendut drpd distribusi normal t (df = 5) t Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Student’s t Table .05 2 t /2 = 0.05 2.920 Upper Tail Area df .25 .10 Let: n = 3 df = n - 1 = 2  = 0.10 /2 = 0.05 df .25 .10 .05 1 1.000 3.078 6.314 2 0.817 1.886 2.920 /2 = 0.05 3 0.765 1.638 2.353 Harga dari nilai-t, tapi bukan merupakan probabilitas t 2.920 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Perbandingan dengan nilai-Z Nilai distribusi-t Perbandingan dengan nilai-Z Confidence t t t Z Level (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ____ 0.80 1.372 1.325 1.310 1.28 0.90 1.812 1.725 1.697 1.645 0.95 2.228 2.086 2.042 1.96 0.99 3.169 2.845 2.750 2.58 Catatan: t Z ketika n meningkat Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh Sampel acak dari n = 25 diambil dari populasi normal, mempunyai X = 50 dan S = 8. Bentuk Level kepercayaan 95% untuk μ d.f. = n – 1 = 24, jadi Interval kepercayaannya adalah 46.698 ≤ μ ≤ 53.302 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interpretasi Kita yakin dengan level kepercayaan 95% bahwa rata-rata populasi antara 46.698 dan 53.302. Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan Confidence Intervals Population Mean Population Proportion σ Known σ Unknown Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan untuk Proporsi Populasi, π Estimasi interval untuk proporsi populasi ( π ) bisa dihitung dari proporsi sampel ( p ) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan untuk Proporsi Populasi, π (lanjutan) Distribusi proprosi sampel mendekati normal bila ukuran sampel besar, dengan simpangan baku Kita akan memperkirakan nilai di atas menggunakan data sampel: Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interval Kepercayaan Batas atas dan bawah interval kepercayaan bisa dihitung menggunakan rumus: diman Z : nilai Z untuk level kepercayaan yang diinginkan p : proporsi sampel n : ukuran sampel Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh Sampel acak dari 100 orang memperlihatkan bahwa 25 adalah kidal. Bentuk level kepercayaan 95% untuk proporsi populasi yang kidal Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh (lanjutan) Sampel acak dari 100 orang memperlihatkan bahwa 25 adalah kidal. Bentuk level kepercayaan 95% untuk proporsi populasi yang kidal Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Interpretasi Kita yakin 95% bahwa proporsi populasi yang kidal adalah diantara 16.51% dan 33.49%. Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menentukan Ukuran Sampel Untuk Mean Untuk Proportion Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menentukan Ukuran Sampel Untuk Mean Sampling error (margin of error) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menentukan Ukuran Sampel (lanjutan) Menentukan Ukuran sampel Untuk Mean Rumus untuk mencari n Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menentukan Ukuran Sampel (lanjutan) Untuk menentukan ukuran sampel yang diinginkan untuk mean, kita harus mengetahui: Level kepercayaan yang diinginkan (1 - ), dimana akan menentukan nilai kritis Z sampling error yang dapat diterima, e Simpangan baku, σ Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh Jika  = 45, Berapakah ukuran sampel yang diperlukan bila sampling error yang bisa diterima ± 5 dengan level kepercayaan 90%? Jadi Ukuran sampel yang diperlukan adalah n = 220 (Selalu dibulatkan ke atas) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Jika σ tidak diketahui Bila tidak diketahui, σ bisa diperkirakan dengan memakai rumus sebelumnya Gunakan simpangan baku sampel S, untuk memperkirakan σ Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Menentukan Ukuran Sampel (lanjutan) Menentukan Ukuran Sampel Untuk Proportion Diperoleh rumus untuk mencari n Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh Berapa besar ukuran sampel yang diperlukan bila sampling error yang bisa diterima adalah ±3%, dengan level kepercayaan 95%? (Asumsikan p = 0.12) Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Contoh Solusi: Untuk level kepercayaan 95%, Z = 1.96 e = 0.03 (lanjutan) Solusi: Untuk level kepercayaan 95%, Z = 1.96 e = 0.03 p = 0.12, maka gunakan nilai p untuk memperkirakan nilai π Dibulatkan n = 451 Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Latihan Sebuah perusahaan elektronik melakukan penelitian kebiasaan menonton TV penduduk Bandung. Dipilih 40 responden, setiap responden diintruksikan untuk menulis detail acara apa saja yg ditonton dlm bbrp minggu. Hasil yg diperoleh: Waktu menonton TV seminggu: X = 15.3 jam, S = 3.8 jam 27 responden menonton berita malam Bangun estimasi interval kepercayaan 95% untuk brp lama rata2 waktu menonton penduduk Bandung dlm 1 minggu Bangun estimasi interval kepercayaan 90% untuk brp besar proporsi penduduk yg menonton berita malam Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Latihan (cont.) Perusahaan elektronik ingin melakukan survey di Kota Jakarta Berapa banyak sampel yg diperlukan untuk level kepercayaan 95% waktu menonton TV populasi dengan error ±2 jam dan σ = 5 jam Berapa banyak sampel yg diperlukan untuk level kepercayaan 90% proporsi responden yg menonton berita malam dengan error ±0.035. asumsikan proporsinya sama dengan yg di Bandung. Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.