TEKNIK OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA BENTUK KHUSUS Mei 2009 TEKNIK OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA BENTUK KHUSUS QUADRATIC PROGRAMMING & SEPARABLE PROGRAMMING Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB

QUADRATIC PROGRAMMING merupakan prosedur yang meminimumkan fungsi kuadratik dengan n variabel terhadap m kendala linier (persamaan atau pertidaksamaan atau keduanya). Notasi QP: Minimumkan f(x)=cTx + ½ xTQx (pers. 1) terhadap Ax ≥ b x ≥ 0 Dimana: c adalah vektor dari koefisien konstan A adalah sebuah matriks (m x n) , Dan diasumsikan bahwa Q adalah matriks simetris

QUADRATIC PROGRAMMING Notasi tsb dapat ditulis kembali, dimulai dgn persamaan Lagrange L = cTx + 1/2 xTQx – vT(Ax-b)-uTx (pers. 2) ∆xTL = c + Qx – ATv – u = 0 (pers. 3) variabel slack non-negatif y dapat dimasukan pada kendala Ax – b ≥ 0 sehingga Ax-b-y=0 atau y=Ax-b, sehingga c + Qx – ATv – u = 0 (pers. 4) Ax - b - y = 0 (pers. 5) x ≥ 0 u ≥ 0 v ≥ 0 y ≥ 0 (pers. 6) uTx = 0 vTy = 0 (pers. 7) atau uTx + vTy = 0 (pers. 8) dimana uj dan vj merupakan pengali Lagrange dan yj adalah variabel slack. Variabel (x*, u*, v*, y*) yang memenuhi pers 4 sampai 8 merupakan solusi optimal

QUADRATIC PROGRAMMING Jika (x, u, v, y) merupakan solusi dari permasalahan QP (pers.1) maka f(x) ekivalen terhadap: f = ½ (cTx + bTy) (pers.9) minimisasi pers 9 terhadap pers 4 sampai pers 8 disebut juga sebagai linear complimentarity problem, yang solusinya merupakan solusi dari permasalahan QP (pers.1). Sebuah problema dengan kendala linear Ax ≥ b yang digantikan dengan Ax = b (pers.1) juga seringkali disebut problema Quadratic Programming. Jika Q positif semidifinit, sebuah dual problem dari pers.1 dapat diformulasikan Maksimumkan F = -1/2 zTQz + bTw (pers.10) terhadap Qz – ATw + p ≥ 0 w ≥ 0 z ≥ tidak terbatas maks F = min f pada x*.

QUADRATIC PROGRAMMING Beberapa Metode untuk menyelesaikan permasalahan Quadratic Programming: 1. LP Simplex – related 2. Active set strategy 3. Internal Representation of the feasible set’ 4. Shrinking ellipsoid

SEPARABLE PROGRAMMING Persoalan (Problema tak linier) dapat diurai atau dipisah-pisahkan sesuai dengan jumlah variabel keputusan yang terkait Persoalan tak linier pemecahannya dapat didekati dengan teknik pemecahan persoalan linier. Contoh: f(x1,x2) = x13 – 2x12 + x1 + x24 – x2 Fungsi tersebut dapat dipisah menjadi 2 fungsi yang masing-masing merupakan fungsi dengan satu variabel f(x1,x2) = f1(x1) + f2(x2) f1(x1) = x13 – 2x12 + x1 dan f2(x2) = x24 – x2

SEPARABLE PROGRAMMING Pada rentang xk < x < xk+1, f(x) didekati dengan dimana: …………(1) Jika x berada pada rentang xk < x < xk+1, maka x = λ xk+1 + (1- λ) xk, untuk sembarang λ, 0 < λ < 1 Dari persamaan (1), untuk (x – xk) diperoleh (x – xk) = λ (xk+1 – xk) Subsitusikan ke persamaan (1), diperoleh = λ fk+1 + (1 – λ) fk

SEPARABLE PROGRAMMING Jika ditetapkan λ = λk+1 dan 1 – λ = λk, ketika xk < x < xk+1 terdapat λk dan λk+1 yang unik x = λkxk + λk+1xk+1 = λkfk + λk+1fk+1 λk + λk+1 = 1 Dimana λ, λk+1 > 0 Untuk semua x, 0 < x < a dapat ditulis sebagai berikut: Dimana , λk > 0, k= 0,1,2 …, r

SEPARABLE PROGRAMMING Fungsi separable yang kontinyu tak linier f(x1, x2, …, xn) dapat didekati dengan pecahan fungsi linier dan dapat ditentukan dengan menggunakan teknik linear programming. f(x) ≈ Dimana ; j=1, …, n λkj > 0; k = 0, …, r; j = 1, …, n Tidak lebih dari dua  yang terkait dengan satu variabel C lebih besar dari nol

SEPARABLE PROGRAMMING CONTOH SOAL: Maksimumkan: f(x) = 3x1 + 2x2 Kendala g(x) = 4x12 + x22 < 16 x1, x2 > 0

SEPARABLE PROGRAMMING PENYELESAIAN f = f1(x1) + f2(x2) Dimana f1(x1) = 3x1 f2(x2) = 2x2 Fungsi linier yang dipakai untuk menduga f adalah Fungsi perkiraan untuk g adalah Juga g = g1(x1) + g2(x2) dan g1(x1) = 4x12 g2(x2) = x22

SEPARABLE PROGRAMMING Grid point dan nilai fungsi pada grid point k xk1 fk1=3xk1 gk1=4xk12 xk2 fk2=2xk2 gk2=xk22 0,0 1 0,5 1,5 1,0 2,0 2 3,0 4,0 3 4,5 9,0 6,0 4 2,0 6,0 16,0 4,0 8,0

SEPARABLE PROGRAMMING Maksimumkan: f = 0,0λ01 + 1,5λ11 + 3,0λ21 + 4,5λ31 + 6,0λ41 + 0,0λ02 + 2,0λ12 + 4,0λ22 + 6,0λ32 + 8,0λ42 Kendala g = 0,0λ01 + 1,0λ11 + 4,0λ21 + 9,0λ31 + 16,0λ41 + 0,0λ02 + 1,0λ12 + 4,0λ22 + 9,0λ32 + 16,0λ42 < 16 λ01 + λ11 + λ21 + λ31 + λ41 = 1 λ02 + λ12 + λ22 + λ32 + λ42 = 1 λ01 , λ11 , λ21 , λ31 , λ41 > 0 λ02 , λ12 , λ22 , λ32 , λ42 > 0