DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMING Riset Operasi

Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya. Satu problem disebut sebagai ‘primal’ dan yang lainnya disebut ‘dual’. Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.

Hubungan primal-dual Primal Dual Batasan i Variabel i Fungsi Tujuan Nilai Kanan

Definisi Dari Dual Problem Dual Problem Bila Dalam Bentuk Kanonik Pertimbangkan bentuk kanonik dari LP : Maksimasi : Pembatas : i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n

Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai ‘Primal’, hubungan dalam dualnya adalah sebagai berikut : Minimasi : Pembatas : i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n y1, y2, … , ym : merupakan variabel dual

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Primal Problem Pembatas i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Maksimasi Dual Problem Pembatas j = 1, 2, … , n yi tidak dibatasi tanda untuk semua i

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Primal Problem Pembatas i = 1, 2, … , m xi tidak dibatasi tanda untuk semua i Maksimasi Dual Problem Pembatas j = 1, 2, … , n i = 1, 2, … , m

Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya Langkahnya sebagai berikut : Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya. Satu problem empunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi. Problem maksimasi mempunyai pembatas (  ) dan minimasi mempunyai pembatas (  ). Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.

Contoh : (masalah primal) Tabel primal-dual Merek Mesin I1 I2 Kapasitas Maksimum 1 2 8 3 15 6 5 30 Sumbangan laba Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5

Fungsi primal-dual Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5 Fungsi primal-dual Kunci 1 Tujuan : Maks Z = 3X1 + 5X2 Batasan : 2X1  8 3X2  15 6X1 + 5X2  30 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Tujuan : Min Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 Batasan : 2Y1 + 6 Y3 ≥ 3 3Y2 + 5 Y3 ≥ 5 dan Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0, Y3 ≥ 0 Batasan i Variabel i Kunci 2 Fungsi Tujuan Nilai Kanan

Interpretasi Ekonomis Fungsi primal Xj = Tingkat aktivitas ke j Cj = Laba persatuan aktivitas j Z = Laba total dari seluruh aktivitas bi = Jumlah sumber i yang tersedia aij = jumlah sumber i yang “dipakai” oleh setiap satuan aktivitas j Dengan menggantikan Zj, metode simpleks dapat diartikan mencari nilai Ym Fungsi dual Yi = kontribusi persatuan sumber i terhadap laba

Hasil masalah dual Y = 271/2 Tujuan : Min Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 Batasan : 2Y1 + 6 Y3 ≥ 3 3Y2 + 5 Y3 ≥ 5 dan Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0, Y3 ≥ 0 Y = 8(0) + 15(5/6) + 30(1/2) Y = 271/2 Analisis Simplex Y1 = 0, Y2 = 5/6, Y3 = 1/2

Contoh : Maksimasi : X0 = 5 X1 + 6 X2 Pembatas : X1 + 9 X2  60  y1 Primal Problem Minimasi : y0 = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4 Pembatas : y1 + 2 y2 + 5y3  60 9y1 + 3 y2 – 2y3 + y4  45 y1 ,y2 ,y3 ,y4  0 Dual Problem

Penyelesaian Dual Simplex Maksimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : 3 X1 + X2  3 4 X1 + 3 X2  6 X1 +2 X2  3 X1, X2  0 Minimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : -3 X1 - X2  3 - 4 X1 - 3 X2  6 X1 +2 X2  3 X1, X2  0 Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda , kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :

Penyelesaian Dual Simplex Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : ‘Leaving Variabel’ adalah variabel basis yang mempunyai nilai paling negatif. Kondisi Optimalitas : ‘Entering Variabel’ dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien pembatas yang terpilih sebagai ‘leaving var’. ‘Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.

Penyelesaian Dual Simplex Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk Persamaan Minimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : -3 X1 - X2 + S1 = - 3 - 4 X1 - 3 X2 + S2 = - 6 X1 +2 X2 + S3 = 3 X1, X2  0

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 2 1 0 0 0 bj S1 S2 S3 -3 -6 3 -3 -1 1 0 0 -4 -3 0 1 0 1 2 0 0 0 Leaving Variabel -2 -1 0 0 0 Menentukan Rasio

Untuk Mendapatkan Entering Variabel Dengan Memilih Nilai Rasio Variabel X1 X2 S1 S2 S3 X0 – equation -2 -1 0 0 0 S2 – equation -4 -3 0 1 0 (leaving var) Rasio 1/2 1/3 X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai terkecil (minimasi problem) Kembali

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 2 1 0 0 0 bj S1 X2 S3 1 -1 2 -5/3 0 1 -1/3 0 4/3 1 0 -1/3 0 -5/3 0 0 2/3 1 Leaving Variabel 2 -2/3 0 0 -1/3 0 Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel.

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 -2 -1 0 0 0 bj X1 X2 S3 2 1 3/5 6/5 1 0 -3/5 1/5 0 0 1 4/5 -3/5 0 0 0 -1 1 1 12/5 0 0 -2/5 -1/5 0 Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah : Maks X0 = Min X0 = 12/5, X2 = 3/5, X2 = 6/5

Peran Teori Dualitas Pada Analisa Sensitivitas Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model. Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya. Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problen dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.

Referensi Aplikasi Riset Operasi, Penerbit Salemba Empat Supranto, J. Bahan Ajar D0104 Riset Operasi I Kuliah XI – XIII Bahan Ajar Rosihan Asmara: ttp://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan http://rosihan.com