ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig TRANSFORMASI LAPLACE ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig by: Karohika, I Made Gatot 2014

Introduction Transformasi Laplace adalah suatu metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari masalah nilai awal serta nilai batas. Proses penyelesaiannya terdiri dari 3 langkah utama: Langkah ke-1 : Persamaan “rumit” yang diketahui ditransformasikan menjadi persamaan “sederhana”[persamaan pembantu] Langkah ke-2 : Persamaan pembantu diselesaikan semata-mata dengan manipulasi aljabar. Langkah ke-3 : Penyelesaian persamaan pembantu adalah dengan mentransformasikan kembali untuk memperoleh penyelesaian dari masalah yang diberikan. Dalam cara ini T Laplace mengubah soal persamaan diferensial menjadi soal aljabar. Langkah ketiga lebih mudah dengan adanya tabel. T Laplace banyak digunakan secara luas dalam bidang matematika teknik, terutama berguna bagi masalah dimana gaya gerak [mekanis ataupun listrik] memiliki diskontinuitas, misalnya bekerja hanya dalam waktu yang singkat atau secara periodik, tetapi bukan semata-mata merupakan fungsi sinus ataupun cosinus

T. laplace dapat menyelesaikan suatu masalah secara langsung, tentu saja masalah nilai awal dapat diselesaikan tanpa terlebih dahulu harus menentukan penyelesaian umumnya. Persamaan persamaan takhomogen dapat diselesaikan tanpa terlebih dahulu harus menyelesaikan persamaan homogennya.

Transformasi Laplace Andaikan f(t) adalah fungsi yang diberikan dan didefinisikan untuk semua waktu t lebih besar dari nol (t ≥ 0). Fungsi f(t) dikalikan dengan e-st dan diintegrasikan terhadap t dari nol hingga tak hingga. Lalu jika hasil integralnya ada, dan merupakan fungsi dari s,katakanlah F(s), maka, disebut transformasi Laplace dari fungsi original f(t) dan akan dinotasikan dengan £(f). Jadi, Operasi yang baru ditunjukkan, yang menghasilkan F(s) dari fungsi f(t) yang diberikan, disebut transformasi Laplace.

Transformasi Invers Selanjutnya fungsi original f(t) dalam persamaan (1) disebut transformasi invers dari F(s) dan akan dinotasikan dengan £-1(F) sehingga dapat dituliskan, Pada umumnya fungsi original dinyatakan dengan huruf kecil dan transformasinya dengan huruf kapital yang sama sehingga F(s) menyatakan transformasi dari f(t) dan Y(s) menyatakan transformasi dari y(t), dan sebagainya. CONTOH 1. Jika f(t) = 1 untuk t ≥ 0, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh,

Selang integrasi dalam persamaan (1) adalah tak hingga dan integral semacam ini disebut integral tak wajar. Oleh karena itu menurut defisnisi harus dihitung dengan aturan, Maka penulisan yang tepat adalah, Jadi,

CONTOH 2. Jika f(t) = eat untuk t ≥ 0, dimana a adalah konstanta, tentukan F(s). Penyelesaian: Sekali lagi, dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh, F(s) = £ (f) = £ (eat) Oleh karena itu, jika s–a > 0, maka Kita tidak harus mendapatkan transformasi Laplace dengan cara langsung dari definisi dalam persamaan (1) karena transformasi Laplace mempunyai banyak sifat umum yang berguna untuk tujuan di atas.

Linearitas Transformasi Laplace Salah satu sifat yang sangat penting dari transformasi Laplace adalah sifat linearitas seperti yang dimiliki diferensiasi dan integrasi. Transformasi Laplace adalah operasi linear untuk sebarang fungsi f(t) dan g(t) yang transformasi Laplacenya ada dan sebarang konstanta a dan b, £{a f(t) + b g(t)} = a £{f(t)} + b £{g(t)} .............................….…….(3) CONTOH 3. Jika f(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifat linearitas dan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = £{f(t)} = £ (cosh at) = ½ £ (eat) + ½ £ (e-at) = ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi,

Dengan menggunakan persamaan (1), didapatkan transformasi Laplace, CONTOH 4. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi berikut: Dengan menggunakan persamaan (1), didapatkan transformasi Laplace,

CONTOH 5. Jika f(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifat linearitas dan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = £ {f(t)} = £ (cosh at) = ½ £ (eat) + ½ £ (e-at) = ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi,

CONTOH 6. Tentukanlah transformasi invers Laplace dari fungsi Penyelesaian: Penyebut fungsi F(s), dapat difaktorkan menjadi (s – 3)(s – 2) dan fungsi F(s) dapat diubah ke dalam bentuk, Fungsi F(s) harus dipisahkan menjadi, dengan A dan B adalah konstanta, sehingga,

Konstanta A dan B dapat ditentukan dengan mempertimbangkan kesamaan, 3s – 7 = (A + B)s – (2A + 3B) maka, A + B = 3 2A + 3B = 7, dan didapatkan A = 2 dan B = 1. Dari CONTOH 1 akhirnya kita peroleh transformasi invers Laplace,

Beberapa fungsi elementer f(t) dan transformasi Laplacenya disajikan dalam Tabel 1. Formula 1, 2 dan 3 dalam Tabel merupakan kasus khusus. Formula 4 mengikuti formula 5 dan Г(n+1) = n! dimana n adalah bilangan bulat tak negatif. Formula 5 dapat dibuktikan dengan mengerjakannya dari definisi. Formula 6 dibuktikan dengan CONTOH 2. Formula 7 dan 8 dibuktikan dengan memasukkan a = iω ke dalam formula 6. Formula 9 dibuktikan dalam CONTOH 3 dan formula 10 dapat dibuktikan dengan cara serupa.

SOAL-SOAL Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi berikut (a, b, adalah konstanta). 1. 3t + 4 2. at + b 3. t2 + at + b 4. (a + bt)2 Tentukanlah f(t) bila F(s) = £(f) diketahui sebagai berikut: 5. 6. 7 8.