SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Teoritis Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hypergeometrik Distribusi Poisson Distribusi Normal Distribusi t-student Distribusi Chi Square Distribusi Fisher SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK PENDAHULUAN Jenis Peubah Acak/ Random Variable Kuantitatif Kualitatif Misal jika, anak berusia lima tahun ditanyai mengenai warna favorit mereka, maka variabelnya adalah variabel kualitatif. Sedangkan, jika yang diamati adalah jangka waktu mereka untuk merespon pertanyaan tersebut, maka variabelnya adalah kuantitatif SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Jenis Peubah Acak Kuantitatif P. diskret: peubah yang nilainya berupa titik-titik bilangan/ hasil cacahan P. kontinyu: peubah nilainya merupakan suatu garis bilangan/ hasil pengukuran Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK PENDAHULUAN (2) Distribusi Peluang hubungan yang menunjukkan peluang dari suatu peubah acaknya (f(x)) Contoh: Dalam pelemparan sebuah dadu dengan enam sisi, maka: x= kemunculan suatu sisi (x=1,2,3,4,5,6) f(x)= peluang munculnya sisi x SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Maka X=1, 2, 3, 4, 5, 6 f(x)=1/6, dst merupakan suatu distribusi peluang x f(x) 1 1/6 2 3 4 5 6 Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Binomial Asumsi: Terdiri dari n ulangan yang pasti Hanya mempunyai dua kemungkinan nilai yi; sukses atau gagal Peluang terjadinya suatu kemungkinan nilai adalah tetap Setiap percobaan yang dilakukan saling bebas (independent) Jika peubah acak x  dist. Binomial maka peluang untuk mendapatkan sukses sebanyak x dari n percobaan yang saling bebas: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK untuk x=0, 1, 2, … Dengan; p: peluang sukses μ = E(x)= np (1-p)/q: peluang gagal σ2= E(xi- μ)= pqn Untuk pemudahan kemudahan nilai peluang peubah acak dari distribusi binomial disajikan dalam suatu tabel kumulatif. Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Multinomial Merupakan percobaan binomial dengan k kemungkinan dalam setiap percobaan Bila setiap percobaan mempunyai kemungkinan untuk menghasilkan kejadian E1, E2 , E3, ..., Ek dengan peluang P1, P2 , P3, ..., Pk. Maka sebaran peluang untuk peubah acak x1, x2 , x3, ..., xk dist. Multinomial, dengan fungsi peluangnya: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Hypergeometrik Asumsi: Dari populasi sebesar N diambil sampel sebanyak n Pengambilan sampel tanpa pengembalian Percobaan yang dilakukan tidak saling bebas Sehingga fungsi peluang untuk x dist. Hypergeometrik adalah: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Dengan; k=himpunan peubah acak yang sukses N-k=himpunan peubah acak yang gagal μ = E(x)= σ2= E(xi- μ)2= Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Hypergeometrik (2) Untuk n kecil dibanding N, maka peluang peubah acak x akan berubah kecil sekali sehingga dist. Hypergeometrik  dist. binomial dengan; P=k/N sehingga μ = E(x)= =np ; σ2= E(xi- μ)2= = Kemudian nilai  nilai N/N=1. Biasanya n terbilang kecil jika n ≤ 5%N * Galat perhitungan antara penggunaan dist. Hypergeometrik dan dist. Binomial kecil, tetapi dala penggunaannya lebih mudah menggunakan dist. Binomial. SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Poisson Sebaran peubah acak x dikatakan mengikuti dist. Poisson jika banyaknya x pasti dan terjadi pada suatu interval waktu tertentu. Asumsi: Terjadi dalam suatu interval waktu Hasil percobaannya fixed Peluang kejadiannya saling bebas antara interval waktu yang satu dengan yang lain Jika peubah acak x  dist. Poisson maka peluang untuk mendapatkan sukses sebanyak x dalam suatu interval waktu adalah: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Poisson (2) Kemudian untuk distribusi binomial yang mempunyai n besar dan p yang kecil (n≥100 dan np<10), maka distribusi tsb akan mendekati ditribusi poisson (bentuk khusus) yaitu; SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Sebaran Normal Peubah acak normal: suatu peubah kontinyu yang distribusinya berbentuk lonceng atau setangkup Bila x adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah  dan ragam 2, maka fungsi peluangnya adalah: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Sebaran Normal (2) Daari gambar daapt dilihat jika nilai  semakin kecil maka data akan semakin berkelompok di sekitar rata-ratanya (kurva semakin runcing) SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Sebaran Normal (3) Distribusi normal baku Karena xnormal(x;, ) tergantung pad nilai  dan , maka untuk membentuk nilai yang lebih baku bagi semua nilai  dan  dilakukan transformasi nilai x ke nilai baku z sbb: SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Dimana bentuk kurva normal baku menyesuaikan dengan bentuk kurva normal: Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Chi Square Jika diambil contoh sebanyak n dari sebuah populasi normal dengan ragam dan dihitung (yang merupakan penduga dari ), sehingga dapat dibentuk peubah acak: dengan SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK kemudian untuk data sampel  tidak diketahui sehingga diduga dengan , sehingga peubah acak menjadi dengan Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Chi Square (2) SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Sehingga Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi t-student Andaikan Z adalah variabel random dengan distribusi normal standard dan adalah variabel random berdistribusi chi-squared yang bebas dengan derajad kebebasan v. Maka variabel random t berdistribusi t dengan derajad kebebasan v . Distribusi t ditentukan oleh nilai derajad kebebasan v. Grafik fungsi densiti distribusi t berbentuk simetris seperti bel dengan garis tengah pada t=0. Parameter v adalah parameter bentuk. Yakni dengan berubahnya nilai v maka bentuk grafik berubah. Semakin tinggi nilai v maka grafiknya semakin runcing dan pada nilai distribusinya menjadi normal. SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi t-student (2) Normal SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK t5 runcing dan pada nilai distribusinya menjadi normal. Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi t-student (3) Sifat sebaran t Derajat bebasnya n-1 (merupakan pembagi bagi nilai 2) Setangkup sehingga besarnya t=t1- Bentuk kurva t-student setangkup (mirip kurva normal baku) tetapi cara pembacaannya berbeda, misal t,v adalah nilai t dengan luas daerah sebelah kanan sebesar  dengan derajat bebas v. Sehingga nilai z berlaku jika 2 diketahui, tetapi jika 2 tidak diketahui Untuk sampel besar, maka s2 mendekati 2 sehingga nilai mendekati Untuk sampel kecil, 2  2 sehingga nilai  SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Distribusi Fisher Jika diketahui sebagai penduga dari sehingga dapat dibentuk suatu peubah acak yang mengikuti sebaran Fisher dengan derajat bebas v1=n1-1 dan v2=n2 – 1. SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Novi Hidayat Pusponegoro