PROGRAMA LINIER Konsep dasar Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. Praktis: alokasi sumber daya terbatas untuk mencapai sebuah tujuan optimal.

P r o d u k Masalah dan Formulasi Pembatas Tujuan Sumber Daya Tersedia 1 … j n a11 a1j a1n b1 : i ai1 aij ain bi m am1 amj amn bm Laba/Cost C1 Cj Cn Pembatas Tujuan

Metoda Grafis Buat sistem koordinat salib sumbu (Kuadran I) Gambarkan fungsi pembatas untuk memperoleh daerah fisibel dan titik-titik fisibelnya Subtitusikan koordinat masing-masing titik fisibel ke dalam fungsi tujuan, dan pilih nilai yang terbesar (maksimasi) atau terkecil (minimasi), atau Gunakan garis selidik dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Jika garis selidik digambar di luar daerah fisibel, maka titik optimalya adalah titik yang pertama kali tersentuh garis tersebut (maksimasi) atau yang terakhir tersentuh (minimasi), kecuai titik nol (0,0)

Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

Waktu proses (jam per unit) Solusi Dept. Waktu proses (jam per unit) Waktu Produk A Produk B 1 2 160 120 3 4 280 Laba $1 $ 1,5

Daerah Feasible: O-A-B-C-D Titik Feasible: A(0,60) Z=90 B(40.40) Z=100 C(60,20) Z=90 D(70,0) Z=70 O

Metoda Simplex Ubah bentuk umum ke bentuk standar (fungsi pembatas bertanda =) dengan cara menambah slack variabel (S) pada ruas kiri fungsi pembatas bertanda  dan mengurangi ruas kiri fungsi pembatasa bertanda  dengan surplus variabel (U) sehingga Buat tabel solusi awal (TSA) spb

Non Basic Variabel (nbv) Tabel Solusi Awal (TSA) Basis Non Basic Variabel (nbv) Basic Variabel (bv) Ruas Kanan X1 Xj Xn W1 … Wj Wm Z C1 Cj Cn a11 a1j a1n 1 b1 : ai1 aij ain bi am1 amj amn bm Melakukan iterasi Simplex Pilih entering variabel, yaitu nbv dengan Cj paling negatif (mak) atau Cj paling positif (min). Jika ada lebih dari satu, pilih salah satu. Dan perhatikan nilai-nilai aij > 0 di kolom var ini, sebut aij. Jika semua ais  0, stop (unbounded solution)  kondisi/isyarat optimal

Pilih leaving variabel, yaitu bv pada baris dengan Min Pilih leaving variabel, yaitu bv pada baris dengan Min. {bi/ais; ais > 0 }. Jika ada lebih dari satu, pillih salah satunya  kondisi/syarat fisibel Persamaan pivot baru baru (ppb), yaitu baris pivot dibagi dengan elemen pivot (elemen pada sel irisan antara baris leaving variabel dan klom entering variable) Buat tabel solusi baru dengan elemen awal ppb Misal, ppb berasal dari baris r dan entering variabel ada pada kolom s. Maka, baris lain pada tabel baru dihitung, dengan formula Z baru = (Z lama) – (Cs) x ppb bv baru = (bv lama) – (ais) x ppb ; untuk i  s Jika Cj pada kolom nbv semuanya positif (mak) atau semua negatif (minimasi), stop (solusi sudah optimal). Jika masih ada yang negatif (maksimasi) atau masih ada yang positif (minimasi), kembali ke langkah 1!

Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

Solusi Simplex Tujuan: Max. Z = X1 + 1,5 X2 atau Z - X1 - 1,5 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0 Pembatas: 2X1 + 2 X2 + S1 = 160  Departemen 1 X1 + 2 X2 + S2 = 120  Departemen 2 4X1 + 2 X2 + S3 = 280  Departemen 3 S1, S2, S3, X1, X2  0

Tabel Solusi Awal (TSA) Nbv bv Ruas Kanan Basis X1 X2 S1 S2 S3 Z -1 -3/2 2 1 160 120 4 280 Maka, ppb = baris X2 = ( 1/2 1 0 1/2 0 60 ) Z1 = Z0 - C2 x ppb = ( 1/4 0 0 3/4 0 90 ) S11 = S10 - a12 x ppb = ( 1 0 1 -1 0 40 ) S31 = S30 - a32 x ppb = ( 3 0 0 -1 1 160 ) Basis X1 X2 S1 S2 S3 RK Z -¼ ¾ 90 1 -1 40 ½ 60 3 160

Semua Cj untuk nbv positif, solusi optimal telah didapat, yaitu: Basis X1 X2 S1 S2 S3 RK Z ¼ ¾ 100 1 -1 40 -1/2 -3 2 Semua Cj untuk nbv positif, solusi optimal telah didapat, yaitu: Laba maksimum: $ 100 per minggu, jika Produk 1 dan Produk 2 masing-masing sebanyak 40 unit, dengan sisa waktu di departemen C: 40 jam.

Teknik - M Min. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas 3X1 + X2 = 3 Tambah S pada (3) dan (2) kurangkan dengan dengan U didapat Min. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas : (1) 3X1 + X2 = 3 (2) 4X1 + 3X2 – U = 6 (3) X1 + 2X2 + S = 4 U,S, X1, X2  0 Tambahakan artificial variabel (R) ke fungsi pembatas bertanda “” dan “=” (pembatas (1) dan (2). Koefisien R dalam fungsi tujuan adalah M (minimasi) atau –M (maksiasi), dimana M merupakan bilangan positif yang sangat besar (M>>>0). Maka,

Min. Z = 4X1+ X2 + MR1 + MR2, dengan pembatas: 3X1+ X2 + R1 = 3 4X1+ 3X2 – U + R2 = 6 X1 + 2X2 + S = 4 R1, R2, U, S, X1, X2  0 Dari pembatas (1) dan (2) didapat : R1 = 3 – 3X1 – X2 R2 = 6 – 4X1 – 3X2 + U Subtitusikan ke dalam fungsi tujuan, diperoleh: Min. Z = 4X1+ X2 + M (3 – 3X1 – X2 ) + M (6 – 4X1 – 3X2 + U) atau Min. Z = (4 – 7M)X1 + (1 - 4M )X2 + MU + 9M, dengan pembatas: 3X1+ X2 + R1 = 3 4X1+ 3X2 – U + R2 = 6 X1+ 2X2 + S = 4 R1, R2, U, S, X1, X2  0

Tabel Solusi Awal (TSA) Basis nbv bv RK X1 X2 U R1 R2 S Z 7M – 4 4M – 1 –M 9M 3 1 4 –1 6 2 Dengan algoritma simpex diperoleh Tabel Solusi Optimal (TSO) Basis nbv bv RK X1 X2 U R1 R2 S Z (7/5) – M –M –1/5 17/5 1 2/5 3/5 9/5 –1

Metoda Dual Simplex Pilih leaving variable (baris pivot), yaitu baris dengan Min. {bj ; bj < 0}, misal ada pada baris r. Jika tidak ada, stop (solusi sudah fisibel). Pilih entering variable(kolom pivot), yaitu klom nbv dengan Min. { Cj/arj; arj < 0} untuk meminimasi, atau Min. { Cj/arj  ; arj < 0 } untuk maksimasi. Buat ppb sperti pada primal simplex, dan buat Tabel Iterasi 1. Jika ruas kanan tidak ada lagi yang negatif dan Cj untuk nbv tidak ada lagi yang negatif (minimasi) atau tidak ada lagi yang positif (minimasi), stop (solusi sudah optimal dan fisibel). Jika tidak, kembali ke langkah 1.

Min. Z = 3X1 + 2X2 dengan pembatas Jika pembatas (1) & (2) dikalikan dengan -1, didapat Min. Z = 3X1 + 2X2, dengan pembatas -3X1 - X2  -3 -4X1 - 3X2  -6 X1 + X2  4 S1, S2, S3  0 X1, X2  0

Bentuk standar : Min. Z = 3X1 + 2X2, dengan pembatas -3X1 – X2 + S1 = -3 -4X1 – 3X2 + S2 = -6 X1 + X2 + S3 = 4 S1, S2, S3 , X1, X2  0 Tabel 2.11 Solusi Awal Basis nbv bv RK X1 X2 S1 S2 S3 Z -3 -2 -1 1 4 -6 3