Prepared by eva safaah evasafaah@gmail.com LA – POSET Prepared by eva safaah evasafaah@gmail.com

Partially Ordered Set/ Himpunan Terurut Parsial Definisi P.O  if R reflexive, antisymmetric dan transitive refleksive : a R a for a  s anti simetris : a R b dan b R a maka a = b transitive : if a R b and b R a then a R c Poset = partial ordering set  (S, R) S = himpunan R = relasi 22/03/2010

Himpunan A bersama-sama dengan suatu relasi pengurutan parsial R pada A dinamakan himpunan terurut parsial ( Partially Ordered Set ) atau disingkat sebagai Poset, dilambangkan dengan ( A, R ). 22/03/2010

Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi  dan  pada himpunan Z dan R. Sebuah pengurutan parsial R pada himpunan A akan sering menggunakan symbol  atau  untuk R. 22/03/2010

CONTOH Himpunan Z+ = {bilangan bulat positif} Relasi  (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order pada Z+ . Hal ini berlaku pula untuk relasi . Jawab : Bila (a,b) ada didalam R jika a  b. Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri  refleksive (memantul) Karena a  b dan b  a kecuali a = b  antisymmetris Jika a  b dan b  c maka a  c  transitive ( menghantar ). 22/03/2010

Diagram Hasse (telah dibahas diawal) suatu relasi biner dari himpunan A ke himpunan B dapat didajikan dalam bentuk grafik maupun tabel. Representasi grafik suatu relasi pengurutan parsial yang semua tanda panahnya mengarah keatas juga dikenal sebagai : “Diagram Hasse“ bagi relasi tersebut. 22/03/2010

22/03/2010

Bila relasi biner itu berupa relasi pengurutan parsial, sajian grafik itu bisa lebih disederhanakan lagi. Karena relasi bersifat memantul (refleksive), kita dapat membuang panel-panel ke titik (-titik) nya sendiri.  lihat gambar (i) menjadi (ii). Karena relasi bersifat menghantar (transitive), kita dapat membuang panah antar titik-titik yang dihubungkan dengan serangkaian panah. lihat gambar (ii) menjadi gambar (iii). 22/03/2010

Contoh A = { 1,2,3,4,12 }. Anggap pengurutan parsial dari pembagian pada himpunan A jika a dan b  A, a  b jika dan hanya jika a / b. Gambarkan diagram Hasse Poset ( A,  ). 22/03/2010

22/03/2010

Contoh Misal A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} dalam urut dengan relasi “ x membagi y” gambarkan diagram hasse poset? 22/03/2010

24 18 12 8 9 6 4 3 2 1 22/03/2010

Contoh Diagram dari suatu himpunan urut linier yang hingga yaitu suatu chain hingga yang terdiri dari sebuah path yang sederhana. Diagram dari suatu chain dengan 5 elemen Y U Z Y x 22/03/2010

Titik Extrem Dari Poset Misalkan ( A,  ) sebuah himpunan terurut parsial. Suatu unsur a di dalam A dinamakan Unsur Maksimum (maximal elements) jika tidak ada unsur b didalam A yang bersifat a  b dan a  b. Suatu unsur a di dalam A dinamakan unsur minimum ( minimal element ) jika tidak ada unsur b didalam A yang bersifat a  b dan b  a. 22/03/2010

Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A. (dalam contoh diatas) Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A. Maka Upper Bound dari B1 adalah f , h , i , j. LUB ( B1 ) = f Misal: B2 = { h, i } merupakan himpunan bagian dari A. Maka Lower Bound dari B2 = a , b , c , d , e , f dan g. GLB ( B2 ) = f , g. j adalah unsur maksimum, sedangkan a, b, e adalah unsur minimum. 22/03/2010

Upper Bound Misalkan a dan b dua unsur sembarang di dalam suatu himpunan terurut parsial ( A,  ). Suatu unsur c dikatakan sebagai batas atas (upper bound) bagi a dan b jika a  c dan b  c. Dalam gambar: h adalah upper bound bagi f dan g. Begitu pula i dan j = upper bound bagi g. Suatu unsur c dinamakan batas atas terkecil (least upper bound = LUB ) bagi a dan b jika c merupakan suatu batas atas bagi a dan b, dan tidak ada batas atas lain d bagi a dan b yang bersifat d  c. 22/03/2010

Lower Bound Suatu unsur c dinamakan suatu batas bawah (lower bound) bagi a dan b jika c  a dan c  b. Dan suatu unsur c dikatakan sebagai suatu batas bawah terbesar (greatest lower bound = GLB) bagi a dan b jika c adalah suatu batas bawah bagi a dan b dan jika tak ada batas bawah lain d bagi a dan b yang bersifat c  d.   22/03/2010

Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A. (dalam contoh diatas) Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A. Maka Upper Bound dari B1 adalah f , h , i , j. LUB ( B1 ) = f Misal: B2 = { h, i } merupakan himpunan bagian dari A. Maka Lower Bound dari B2 = a , b , c , d , e , f dan g. GLB ( B2 ) = f , g. 22/03/2010

Try it.. Misal E = {1, 2, 3, 4, 5} terurut dengan relasi “ x ≥ y ” . Gambarkan diagram hasse dan : Carilah semua elemen minimal dari E Carilah semua elemen maksimal dari E 22/03/2010

22/03/2010