Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 11 LATIHAN SOAL Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR10), No.1 Perhatikan tiap-tiap graf (a), (b), dan (c) berikut. Tentukan apakah masing-masing graf merupakan graf Euler, graf semi-Euler, graf Hamilton, atau graf semi-Hamilton. Berikan penjelasan secukupnya.

Solusi Pekerjaan Rumah (PR10), No.1 Terdapat dua simpul dengan derajat ganjil, sisanya berderajat genap  lintasan Euler. Lintasan Euler harus dimulai dari salah satu simpul ganjil, dan berakhir di simpul ganjil lainnya. Dapat dibuktikan dengan mudah, bahwa graf (a) memiliki sirkuit Hamilton. Semua simpul berderajat genap  sirkuit Euler. Graf (b) memiliki lintasan Hamilton, misalnya dari simpul kiri bawah ke kanan atas, atau sebaliknya.

Solusi Pekerjaan Rumah (PR10), No.1 Terdapat lebih dari dua simpul dengan derajat ganjil  graf (c) tidak memiliki lintasan Euler maupun sirkuit Euler. Graf (c) memiliki sirkuit Hamilton.

Pekerjaan Rumah Final (PR10), No.2 Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja (pokja) yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K1 = { Amir, Budi, Yanti } K2 = { Budi, Hasan, Tommy } K3 = { Amir, Tommy, Yanti } K4 = { Hasan, Tommy, Yanti } K5 = { Amir, Budi } K6 = { Budi, Tommy, Yanti } (a) Berapa banyak jadwal rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota pokja yang mengalami bentrokan jadwal rapat? (b) Gambarkan pula graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu jelaskan sisi menyatakan apa dan simpul menyatakan apa.

Solusi Pekerjaan Rumah Final (PR10), No.2 K1 = { Amir, Budi, Yanti } K2 = { Budi, Hasan, Tommy } K3 = { Amir, Tommy, Yanti } K4 = { Hasan, Tommy, Yanti } K5 = { Amir, Budi } K6 = { Budi, Tommy, Yanti } Amir Budi Yanti Hasan Tommy K1 1 K2 K3 K4 K5 K6 simpul  pokja sisi  menyatakan bahwa ada seseorang yang menjadi anggota kedua pokja secara bersamaan

Latihan Soal 1 Gantilah rangkaian saklar berikut ini dengan rangkaian ekivalen yang lebih sederhana. Solusi: Rangkaian saklar diatas dapat dinyatakan dengan (AB’)  (AB)  C (AB’)  (AB)  C = ((AB’)  (AB))  C Hk.Asosiatif = (A(B’B))  C Hk. Distributif = (AT)  C Hk. Negasi = A  C Hk. Identitas

Latihan Soal 2 Tiga sahabat, Amir, Budi, dan Cora berbicara tentang nilai semester II yang diperoleh Dudi dari 5 mata kuliah yang ada. Amir berkata,“Dudi mendapat paling tidak 4 nilai A.” Budi berkata, ”Tidak, Dudi mendapat kurang dari 4 nilai A.” “Menurut saya,” kata Cora, “Dudi dapat paling tidak 1 nilai A” Bila diketahui bahwa hanya ada satu orang dari tiga sahabat yang berkata benar, berapa jumlah nilai A yang didapat Dudi? Solusi: Jika Amir berkata benar, maka Cora juga berkata benar. Jika Cora berkata benar, maka Amir atau Budi juga berkata benar. Artinya, hanya Budi yang berkata benar, pada saat Amir dan Cora berkata tidak benar (“Dudi dapat kurang dari 1 nilai A”). Jawabannya: Dudi tidak mendapat nilai A sama sekali.

Latihan Soal 3 Solusi: Buktikan bahwa (X – Y) – Z = X – (Y  Z) (X – Y) – Z = (X – Y)  Z’ Definisi Selisih = X  Y’  Z’ Definisi Selisih = X  (Y’  Z’) Hk. Asosiatif = X  (Y  Z)’ Hk. De Morgan = X – (Y  Z) Definisi Selisih

Latihan Soal 4 Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, tentukan jumlah bilangan bulat positif ≤ 300 yang habis dibagi 2 atau 3. Solusi: Misalkan U = Himpunan bilangan bulat positif ≤ 300, A = Himpunan bilangan bulat positif ≤ 300 habis dibagi 2, B = Himpunan bilangan bulat positif ≤ 300 habis dibagi 3. Maka A  B = Himpunan bilangan ≤ 300 habis dibagi 2 dan 3, A  B = Himpunan bilangan ≤ 300 habis dibagi 2 atau 3. A = 300/2 = 150 B = 300/3 = 100 A  B = 300/6 = 50  habis dibagi 2 dan 3 ≡ habis dibagi 6 A  B = A + B – A  B = 150 + 100 – 50 = 200

Latihan Soal 5 Tentukan apakah relasi-relasi dibawah ini bersifat refleksif, menghantar, simetris, atau anti simetris: a) “Adalah saudara perempuan dari” b) “Adalah ayah dari” c) “Memiliki orang tua yang sama dengan” Solusi: a) “Adalah saudara perempuan dari” Tidak refleksif  tidak mungkin menjadi saudara perempuan dari diri sendiri. Tidak menghantar  bila X saudara perempuan Y, dan Y saudara perempuan Z, belum tentu X saudara perempuan Z (dalam hubungan saudara tiri). Tidak simetris  X saudara perempuan Y, Y belum tentu saudara perempuan X, bisa saja Y adalah saudara laki-laki X. Tidak anti simetris  dapat terjadi X saudara perempuan Y, dan Y saudara perempuan X, sedang X ≠ Y.

Latihan Soal 5 Tentukan apakah relasi-relasi dibawah ini bersifat refleksif, menghantar, simetris, atau anti simetris: a) “Adalah saudara perempuan dari” b) “Adalah ayah dari” c) “Memiliki orang tua yang sama dengan” Solusi: b) “Adalah ayah dari” Tidak refleksif  tidak mungkin menjadi ayah dari diri sendiri. Tidak menghantar  bila X ayah dari Y, dan Y ayah dari Z, maka X kakek dari Z. Tidak simetris  X ayah dari Y, maka tidak mungkin Y ayah dari X. Anti simetris  tidak ada aturan yang dilanggar.

Latihan Soal 5 Tentukan apakah relasi-relasi dibawah ini bersifat refleksif, menghantar, simetris, atau anti simetris: a) “Adalah saudara perempuan dari” b) “Adalah ayah dari” c) “Memiliki orang tua yang sama dengan” Solusi: c) “Memiliki orang tua (ayah dan ibu) yang sama dengan” Refleksif  walau terdengar janggal, tetapi benar. Menghantar  bila X R Y, dan Y R Z, maka X R Z. Simetris  X R Y, maka Y R X. Tidak anti simetris  akibat simetris.

Latihan Soal 6 Buktikan bahwa 89 dan 55 adalah dua bilangan yang relatif prima. Solusi: 89 = 155 + 34 (1) 55 = 134 + 21 (2) 34 = 121 + 13 (3) 21 = 113 + 8 (4) 13 = 18 + 5 (5) 8 = 15 + 3 (6) 5 = 13 + 2 (7) 3 = 12 + 1 (8) 89 dan 55 adalah dua bilangan yang relatif prima karena PBT(89,55) =1.

Latihan Soal 7 Tentukan salah satu pasangan bilangan bulat (u,v) yang memenuhi 89u + 55v = 8. Solusi: 89 = 155 + 34 (1) 55 = 134 + 21 (2) 34 = 121 + 13 (3) 21 = 113 + 8 (4) (4) 8 = 21 – 113 (5) (3) 13 = 34 – 121 (6) (6)(5) 8 = 21 – 1(34 – 121) 8 = 221 – 34 (7) (2) 21 = 55 – 134 (8) (8)(7) 8 = 221 – 34 8 = 2(55 – 134) – 34 8 = 255 – 334 (9)

Latihan Soal 7 Tentukan salah satu pasangan bilangan bulat (u,v) yang memenuhi 89u + 55v = 8. Solusi: 89 = 155 + 34 (1) 55 = 134 + 21 (2) 34 = 121 + 13 (3) 21 = 113 + 8 (4) 8 = 255 – 334 (9) (1) 34 = 89 – 155 (10) (10)(9) 8 = 255 – 334 8 = 255 – 3(89 – 155) 8 = 555 – 389 Jadi salah satu pasangan bilangan (u,v) yang memenuhi adalah (–3,5).

Latihan Soal 8 Diketahui kode ISBN-13 sebuah buku: 978-051A0B2934. Bila B mod A = 2, tentukan A dan B. Solusi: Perhitungan12 angka pertama:   91 + 73 + 81 + 03 + 51 + 13 + A1 + 03 + B1 + 23 + 91 + 33 = 70 + A + B. Ikutkan karakter uji (angka ke-13): 70 + A + B + 4  0 (mod 10) 74 + A + B  0 (mod 10) A + B = { 6, 16, 26, 36, …} Sedangkan B mod A = 2 Kombinasi (A,B) yang mungkin adalah (3,5), (4,6), (5,7), (6,8), (7,9), dan (3,8). Kombinasi yang memenuhi adalah: A = 7 dan B = 9, dimana A + B = 16.

Latihan Soal 9 Nomor telepon di suatu daerah terdiri dari 8 angka. Angka pertama tidak boleh 0 atau 1. (a) Ada berapa banyak nomor telepon yang mungkin terdapat di daerah tersebut? (b) Ada berapa banyak nomor telepon yang tidak mempunyai angka 0? (c) Ada berapa banyak nomor telepon yang mempunyai paling tidak satu angka 0? Solusi: (a) 810101010101010 = 80.000.000 nomor telepon. (b) 89999999 = 38.263.752 nomor telepon. (c) Nomor yang mempunyai paling tidak satu angka 0 = Nomor telepon yang mungkin – Nomor telepon yang tidak mempunyai angka nol = 41.736.248 nomor telepon.

Latihan Soal 10 (a) Tentukan jumlah cara yang dimiliki seorang presiden untuk mengisi posisi menteri luar negeri, menteri dalam negeri, menteri pertahanan, dan menteri sekretaris negara, dari 45 kandidat yang ia miliki. (b) Tentukan banyaknya cara memilih 4 kaleng cat dari 45 kaleng cat dengan warna berbeda. Solusi: (a) (b)

Latihan Soal 11 Persikab “Dalem Bandung” memiliki 16 pemain untuk menghadapi kompetisi Divisi Utama mendatang. Para pemain diminta untuk memilih 5 orang sebagai perwakilan pemain bila sewaktu-waktu manajemen perlu bernegosiasi. (a) Berapa banyak cara untuk memilih anggota perwakilan pemain tersebut? (b) Bila 7 dari 16 pemain tersebut adalah pemain muda dengan usia dibawah 23 tahun, berapa banyak cara membentuk perwakilan berjumlah 5 pemain dimana terdapat 2 pemain muda? Solusi: (a) (b)

Akhir Kuliah