OPERATIONS RESEARCH 1 MATERI KULIAH susy susmartini

TAHAPAN KEGIATAN : PERENCANAAN PERSIAPAN/PENGADAAN OPERASIONAL EVALUASI PENGAMBILAN KEPUTUSAN TUJUAN KENDALA / KETERBATASAN OPTIMASI susy susmartini operations research 1, 2006

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN PENDEKATAN OPERATIONS RESEARCH MODEL DETERMINISTIK PROGRAM LINIER PROGRAM INTEGER PROGRAM NON LINIER PROGRAM DINAMIS MODEL PERSEDIAAN MODEL JARINGAN MODEL STOKASTIK MODEL ANTRIAN PROSES MARKOV MODEL SIMULASI ANALISA KEPUTUSAN susy susmartini operations research 1, 2006

PROGRAMA LINIER METODE GRAFIS METODE SIMPLEKS : OPERASI PIVOT ( TABLO ) METODE UMUM/DASAR METODE BIG M METODE DUA PHASE REVISED SIMPLEX METHOD MASALAH DUALITAS ( PRIMAL-DUAL ) ANALISA SENSITIVITAS SPECIAL TYPES : TRANSPORTATION PROBLEM TRANSHIPMENT PROBLEM ASSIGNMENT PROBLEM MULTIDIVISIONAL PROBLEM susy susmartini operations research 1, 2006

BATASAN UMUM FUNGSI TUJUAN (Objective function) : FUNGSI KENDALA (Subject to / Constraint) : susy susmartini operations research 1, 2006

CONTOH 1 : Sebuah perusahaan pembuat pesawat TV memutuskan untuk membuat TV berukuran 27’ dan 20’. Menurut pengamatan, kebutuhan pasar tidak lebih dari 40 unit / bulan untuk TV 27’, dan tidak lebih dari 10 unit / bulan untuk TV 20’. Produksi 1 unit TV 27’ memerlukan waktu selama 20 jam kerja, dan 1 unit TV 20’ memerlukan waktu selama 10 jam kerja. Sedangkan waktu yang tersedia : 500 jam kerja / bulan. Besarnya keuntungan untuk setiap unit TV 27’ diharapkan $120, dan $80 / unit TV 20’ Seorang penyalur bersedia membeli semua produksi kedua tipe TV tersebut, asalkan tidak melampaui jumlah yang diperoleh dari hasil pengamatan tentang kebutuhan pasar. Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk mendapatkan jumlah masing-masing tipe TV tersebut, agar diperoleh keuntungan yang maksimal. susy susmartini operations research 1, 2006

Penyelesaian : Misalkan : jumlah produk I (TV 27’) : jumlah produk II (TV 20’) : Objective Function : Constraint Set : susy susmartini operations research 1, 2006

CONTOH 2 : Sebuah perusahaan tambang mengoperasikan tiga tambang di Virginia Barat. Bijian dari tiap tambang dipisahkan ke dalam dua jenis kualitas sebelum dikirimkan kepada konsumennya. Berikut ini adalah kapasitas produksi dan ongkos produksi harian masing-masing tambang tersebut : TAMBANG KUALITAS TINGGI (TON/HARI) KUALITAS RENDAH (TON/HARI) BIAYA OPERASI ($1000/HARI) I II III 4 6 1 20 22 18 Perusahaan telah memutuskan untuk mengirim 54 ton bijian kualitas tinggi dan 65 ton bijian kualitas rendah tiap minggu. Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk menentukan jumlah hari kerja di tiap tambang dalam satu minggu, agar perusahaan dapat menekan biaya operasionalnya. susy susmartini operations research 1, 2006

Misalkan : Jumlah hari kerja di tambang i adalah Untuk i = 1, 2, 3 PENYELESAIAN : Misalkan : Jumlah hari kerja di tambang i adalah Untuk i = 1, 2, 3 susy susmartini operations research 1, 2006

METODE GRAFIS CONTOH 3 : Sebuah perusahaan merencanakan dua macam produksi, yaitu Bearing Plate (Produk I) dan Gear (Produk II). Proses produksi kedua produk tersebut menggunakan Milling Machine (kapasitas : 60 Machine Hours / week) dan Metal Lathe (kapasitas : 40 Machine Hours / week) yang sama. Masing-masing produk memerlukan lama waktu pengerjaan yang berbeda pada tiap mesin tersebut, yaitu : Machine Machine Hours / unit Product I Product II Milling Machine Metal Lathe 5 4 10 Jika diperkirakan keuntungan Produk I : $6 dan Produk II : $8, berapa jumlah masing-masing produk yang harus dibuat, agar mendapatkan keuntungan yang maksimal susy susmartini operations research 1, 2006

Penyelesaian : Misalkan : Jumlah Produk I : Jumlah Produk II : 12 10 Z = 48 8 A(0,6) 6 4 Z = 64 2 B(8,2) Z = 60 C(10,0) 2 4 6 8 10 12 susy susmartini operations research 1, 2006

KOLOM-KOLOM DALAM TABLO : METODE SIMPLEKS (OPERASI PIVOT) BEKERJA DALAM TABLO KOLOM-KOLOM DALAM TABLO : : Koefisien Variabel Basis pada Fungsi Tujuan (Objective Function) : Variabel Basis Variabel Basis Awal : Variabel yang terdapat hanya pada satu Constraint Set Variabel Basis pada langkah-langkah selanjutnya Dipilih, sebagai Entering Variable, melalui pemilihan : - yang positif terbesar (Maximize) - yang paling negatif (Minimize) Variabel Basis yang diganti : Leaving Variable, melalui pemilihan nilai terkecil pada kolom perbandingan RK : susy susmartini operations research 1, 2006

: Koefisien Variabel Pada Fungsi Tujuan Konst Ruan Kn : Konstanta Pembatas pada Constraint Set Perband RK : KP : Perbandingan Kolom Konstanta Ruas Kanan dengan Kolom Pivot Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot . Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

LANGKAH-LANGKAH OPERASI PIVOT Ubah Formulasi / Bentuk Dasar Programa Linier ke Bentuk Standard : a. Constraint Set berbentuk persamaan “=“ b. Konstanta Ruas Kanan pada Constraint Set harus positif c. Variabel tambahan pada Constraint Set harus > 0 d. Koefisien Variabel Tambahan pada Objective Function harus “= 0” Bentuk Tablo dengan Kolom-kolom yang telah ditentukan Pilih Variabel Basis Awal, kemudian letakkan berurut pada Kolom Variabel Basis Isi kolom-kolom yang telah ditentukan, serta isi baris Cari Entering Variable : a. b. Pilih Entering Variable sesuai Objective Function susy susmartini operations research 1, 2006

Kolom Entering Variable, disebut KOLOM PIVOT (KP) Isi kolom “Perband RK : KP”, kemudian pilih nilai terkecil sebagai Leaving Variable. Abaikan hasil perbandingan yang bernilai negatif dan pembagi nol. Baris Leaving Variable disebut BARIS PIVOT Cek nilai : a. Untuk masalah Maximize keadaan OPTIMAL pada b. Untuk masalah Minimize keadaan OPTIMAL pada Berhenti pada kondisi OPTIMAL Dengan hasil : Variabel yang menjadi Variabel Basis bernilai besarnya Konstatnta Ruas Kanannya. Variabel yang tidak terpilih sebagai Variabel Basis saat itu, bernilai nol susy susmartini operations research 1, 2006

Jika belum optimal, lanjutkan TABLO ke bawah Ganti Variabel Basis yang terpilih sebagai Leaving Variable dengan variabel yang terpilih sebagai Entering Variable 12. Perpotongan antara KOLOM PIVOT dengan BARIS PIVOT disebut TITIK PIVOT a. Upayakan TITIK PIVOT bernilai “1”. Semua konstanta yang berada di atas / bawahnya dalam KOLOM PIVOT berharga nol. b. Konstanta lain disesuaikan (melalui iterasi) Hitung Cek kembali, apakah sudah optimal ? a. Jika sudah optimal, hentikan iterasi (seperti langkah 9) b. Jika belum optimal, lanjutkan ke langkah 10 susy susmartini operations research 1, 2006

CONTOH 4 : BENTUK STANDARD : Berapa nilai Yang optimal ? susy susmartini operations research 1, 2006

3 2 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/1 = 4 15 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/1 = 4 15 15/1 = 15 10 10/2=5 Z=0 Var Basis 3 2 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/0 -1 11 11/3=3.67 -2 2/1=2 -3 Z=12 Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

3 2 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK:Kolom Pivot 1 4 4/1=4 5 -3 5/5=1 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK:Kolom Pivot 1 4 4/1=4 5 -3 5/5=1 -2 2/-2=-1 -1 Z=16 Var Basis 3 2 Konst Ruas Kanan Optimal pada = 3 = 4 Z=17 1 -1/5 3/5 1/5 -3/5 2/5 4 -7/5 Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

VARIABEL SEMU CONTOH 5 : BENTUK STANDARD susy susmartini operations research 1, 2006

UNTUK MENDAPATKAN VARIABEL BASIS AWAL YANG LAYAK, DIPERLUKAN PENAMBAHAN SUATU VARIABEL SEMU SEHINGGA : susy susmartini operations research 1, 2006

KEADAAN INI DAPAT DIATASI DENGAN : METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M) TAPI ………… KARENA DI ANTARA VARIABEL BASIS AWAL TERSEBUT TERDAPAT VARIABEL SEMU, MAKA SOLUSI BASIS MENJADI SOLUSI TAK LAYAK KEADAAN INI DAPAT DIATASI DENGAN : METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M) METODE SIMPLEKS 2 PHASE susy susmartini operations research 1, 2006

METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M) CATATAN : PADA MASALAH MINIMIZE harga adalah POSITIF PADA MASALAH MAXIMIZE harga adalah NEGATIF susy susmartini operations research 1, 2006

-3 1 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP -2 11 11/1=11 -4 2 -1 3 3/2=1.5 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP -2 11 11/1=11 -4 2 -1 3 3/2=1.5 1/1=1 -3+ 6M 1-M 1-3M Z=4M Kolom Pivot (KP) Baris Pivot -3 1 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 -1 10 10/-2 1/1 1/0 1-M 3M-1 Z=1+M susy susmartini operations research 1, 2006

-3 1 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 2 -5 12 12/3=4 -1 1/0 1/-2 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 2 -5 12 12/3=4 -1 1/0 1/-2 M-1 M+1 Z=2 -3 1 M Konst Ruas Kn Optimal pada = 4 = 1 = 9 Z = -2 1/3 -2/3 2/3 -5/3 4 -1 -2 -4/3 4/3 -7/3 9 M-1/3 M-2/3 Z=-2 susy susmartini operations research 1, 2006

METODE SIMPLEKS DUA FASA FASA I : 1 Konst Ruas Kn Perband RK : KP -2 11 11/1=11 -4 2 -1 3 3/2=1.5 1/1=1 6 -3 W=4 susy susmartini operations research 1, 2006

1 Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 -1 10 10/-2 1/1=1 1/0 W=1 1 1 Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 -1 10 10/-2 1/1=1 1/0 W=1 1 Konst Ruas Kn Fasa I optimal 3 -2 2 -5 12 -1 W=0 susy susmartini operations research 1, 2006

FASA II : -3 1 Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 12 12/3=4 -1 1/0 Konst Ruas Kn Perband RK : KP 3 -2 12 12/3=4 -1 1/0 1/-2 Z = 2 -3 1 Konst Ruas Kn Optimal pada : = 4 = 1 = 9 Z = -2 1/3 -2/3 4 -1 2/3 -4/3 9 susy susmartini operations research 1, 2006

REVISED SIMPLEX NOTASI-NOTASI : susy susmartini operations research 1, 2006

LANGKAH PENYELESAIAN : Mengubah Formulasi awal ke dalam Bentuk Standard Mencari Entering Variable Mencari Leaving Variable susy susmartini operations research 1, 2006

CONTOH 6 : Bentuk Standard susy susmartini operations research 1, 2006

Langkah Penyelesaian : ITERASI I : a. Mencari ENTERING VARIABEL susy susmartini operations research 1, 2006

b. Memilih LEAVING VARIABLE susy susmartini operations research 1, 2006

a. Mencari ENTERING VARIABLE ITERASI II a. Mencari ENTERING VARIABLE susy susmartini operations research 1, 2006

b. Memilih LEAVING VARIABLE susy susmartini operations research 1, 2006

a. Mencari ENTERING VARIABLE ITERASI III a. Mencari ENTERING VARIABLE susy susmartini operations research 1, 2006

DUALITY THEORY (TEORI DUALITAS) Setiap masalah Programa Linier, dengan variabel : Mempunyai keterkaitan dengan bentuk Programa Linier lain, dengan variabel : (“m” adalah jumlah Constraint Set pada Programa Linier semula), yang disebut sebagai DUAL nya Bentuk DUAL ini ditentukan oleh bentuk Programa Linier semula, yang disebut sebagai PRIMAL susy susmartini operations research 1, 2006

PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM C & y : Row Vector b & x : Column Vector BENTUK UMUM PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM Maximize Subject to : Minimize : Maximize Z = cx Subject to : Ax < b x > 0 Minimize : W = yb Subject to : yA > c y > 0 C & y : Row Vector b & x : Column Vector susy susmartini operations research 1, 2006

PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM Contoh 7: PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM Maximize Subject to : Minimize susy susmartini operations research 1, 2006

PRIMAL – DUAL RELATIONSHIP WEAK DUALITY PROPERTY Terjadi jika : cx < yb x : adalah solusi feasible untuk masalah PRIMAL y : adalah solusi feasible untuk masalah DUAL STRONG DUALITY PROPERTY Terjadi jika : cx* = y*b x* : adalah optimal solution untuk masalah PRIMAL y* : adalah optimal solution untuk masalah DUAL susy susmartini operations research 1, 2006

COMPLEMENTARY SOLUTION PROPERTY Pada setiap iterasi, metode Simpleks secara simultan mengidentifi- kasikan suatu “Corner – Point Feasible Solution” x untuk PRIMAL Problem dan suatu “Complementary Solution” y untk DUAL Problem, Dimana : cx = yb Contoh : Problem contoh 6, pada Iterasi II : susy susmartini operations research 1, 2006

COMPLEMENTARY OPTIMAL SOLUTION PROPERTY Pada Iterasi terakhir : Contoh : Iterasi terakhir pada contoh 6 : yi* : SHADOW PRICE untuk PRIMAL PROBLEM susy susmartini operations research 1, 2006

Untuk setiap PRIMAL PROBLEM dan DUAL PROBLEMnya, SYMMETRY PROPERTY : Untuk setiap PRIMAL PROBLEM dan DUAL PROBLEMnya, Semua hubungan antara keduanya merupakan huibungan yang Symmetry, karena DUAL PROBLEM dari suatu DUAL PROBLEM adalah PRIMAL PROBLEMnya susy susmartini operations research 1, 2006

: adalah nilai optimal bagi suatu DUAL PROBLEM HUBUNGAN NILAI Jika : : adalah nilai optimal bagi suatu DUAL PROBLEM : adalah nilai untuk Variabel Basis Awal pada saat optimal (PRIMAL PROBLEM) : adalah nilai (Simplex Multiplier dala Revised Simplex Method) pada saat harga optimal (PRIMAL PROBLEM) Maka : = = = SHADOW PRICE untuk PRIMAL PROBLEM susy susmartini operations research 1, 2006

(Kembali ke kasus contoh 6) a. Penyelesaian PRIMAL PROBLEM dengan menngunakan Operasi Pivot Bentuk Standard : susy susmartini operations research 1, 2006

3 5 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/0 2 12 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/0 2 12 12/2 = 6 18 18/2 = 9 Z=0 Var Basis 3 5 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1 4 4/1 = 4 1/2 6 6/0 -1 6/3 = 2 - 5/2 Z = 30 Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

3 5 Konst Ruas Kanan Optimal pada = 2 = 6 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 - 3/2 -1 Konst Ruas Kanan Optimal pada = 2 = 6 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 - 3/2 -1 Z = 36 Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

b. Penyelesaian dengan Operasi Pivot untuk DUAL PROBLEM Bentuk Standard susy susmartini operations research 1, 2006

4 12 18 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 1 3 -1 3/3 2 5 5/2 4-M 12-2M M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 1 3 -1 3/3 2 5 5/2 4-M 12-2M 18-5M W=8M Var Basis 4 12 18 M Konst Ruas Kn Perband RK : KP 1/3 1 -1/3 1/0 -2/3 2 2/3 -1 3 3/2 -2+ 2/3M 12-2M 6-2/3M 5/3M-6 W=18+3M Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

c. Penyelesaian dengan Revised Simplex Method untuk PRIMAL PROBLEM 4 12 18 M Konst Ruas Kn Optimal pada = 0 = 3/2 = 1 1/3 1 -1/3 -1/2 1/2 3/2 2 6 M-2 M-6 W=36 Var Basis y* = ( 0, 3/2, 1 ) c. Penyelesaian dengan Revised Simplex Method untuk PRIMAL PROBLEM Pada solusi optimal : KESIMPULAN : susy susmartini operations research 1, 2006

Perubahan keuntungan pada Z optimal per satuan kenaikan sumber kendala Shadow Price : Perubahan keuntungan pada Z optimal per satuan kenaikan sumber kendala Artinya : (lihat contoh) Jika : dari 4 diubah menjadi 5, maka Z optimal tidak berubah dari 12 diubah menjadi 13, maka Z optimal naik sebesar 3/2 dari 18 diubah menjadi 19, maka Z optimal naik sebesar 1 susy susmartini operations research 1, 2006

ANALISA SENSITIVITAS (PADA KONDISI OPTIMAL) Contoh : susy susmartini operations research 1, 2006

TABLO AWAL TABLO AKHIR 2 3 1 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot 1/3 4/3 7/3 Z=0 Var Basis TABLO AKHIR 2 3 1 Konst Ruas Kanan Perband Konst RK: Kolom Pivot -1 4 -3 -5 Z=8 Var Basis susy susmartini operations research 1, 2006

PERUBAHAN PADA KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN a. Perubahan pada Variabel NON BASIS Berapa nilai ‘C3 “ sehingga kondisi optimal tidak berubah ? susy susmartini operations research 1, 2006

JIKA : APA YANG AKAN TERJADI ? susy susmartini operations research 1, 2006

b. Perubahan pada koefisien Variabel BASIS Jika : susy susmartini operations research 1, 2006

2. Perubahan pada Konstanta RUAS KANAN Pada kondisi Solusi OPTIMAL : susy susmartini operations research 1, 2006

Jika : susy susmartini operations research 1, 2006

susy susmartini operations research 1, 2006