Pengantar Persamaan Diferensial (PD)

Materi Persamaan Diferensial Definisi PD PD Eksak Faktor Integrasi

DEFINISI Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung fungsi yang tidak diketahui dan turunannya. Contoh. 𝑎. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 𝑏. 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 𝒚 adalah variabel terikat dan 𝒙 adalah variabel bebas.

Persamaan Diferensial Parsial Contoh. 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =0 𝒖 adalah variabel terikat dan 𝒙 dan 𝒚 adalah variabel bebas.

ORDER Persamaan Diferensial Order (tingkat) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan diferensial. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 1 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 2

DEGREE Persamaan Diferensial Degree (derajat) persamaan diferensial adalah pangkat dari suku dengan order tertinggi dalam persamaan diferensial. PERSAMAAN DIFERENSIAL DEGREE 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 1 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 +6𝑦+7=0

Solusi Integrasi Langsung Soal 1. Selesaikan PD berikut: d𝑦 d𝑥 =2𝑥+5 Solusi d𝑦= 2𝑥+5 d𝑥 d𝑦 = 2𝑥+5 d𝑥 𝑦+ 𝐶 1 = 𝑥 2 +5𝑥+ 𝐶 2 𝑦= 𝑥 2 +5𝑥− 𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 𝑦= 𝑥 2 +5𝑥+𝑪

Persamaan Diferensial Eksak …(1) Persamaan 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 (1) disebut PD eksak bila terdapat fungsi 𝑓 𝑥,𝑦 dimana turunan totalnya adalah 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦, yaitu d𝑓 𝑥,𝑦 = 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 d𝑥+ 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 d𝑦=𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦

Persamaan Diferensial Eksak …(2) UJI KE – EKSAK – AN Persamaan: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah PD EKSAK jika 𝜕𝑀 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝑥,𝑦 𝜕𝑥

Soal 2. Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini: 2𝑥+3𝑦 d𝑥+ 3𝑥+4𝑦 d𝑦=0 Solusi Uji keEKSAKan 𝜕𝑀 𝜕𝑦 =3 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =3 sama ⟹Persamaan Diferensial EKSAK

Solusi soal 2. Mencari fungsi f 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =𝑀 ⟺ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =2𝑥+3𝑦 ⟺𝜕𝑓= 2𝑥+3𝑦 𝜕𝑥 ⟺ 𝜕𝑓 = 2𝑥+3𝑦 𝜕𝑥 ⟺𝑓= 𝑥 2 +3𝑥𝑦+𝒉 𝒚 Ditambah fungsi ℎ 𝑦 karena turunan fungsi 𝑓 terhadap 𝑥 adalah nol

Faktor Integral …(1) Jika persamaan 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 bukan PD eksak, maka dapat dijadikan PDE. Persamaan di atas dikalikan dengan faktor integral.

Faktor Integral …(2) Misal 𝑈 𝑥,𝑦 adalah faktor integral, maka 𝑈 𝑥,𝑦 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑈 𝑥,𝑦 𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 adalah PD eksak. Sehingga 𝜕 𝑈 𝑥,𝑦 𝑀 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕 𝑈 𝑥,𝑦 𝑁 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 atau 𝑈 𝜕𝑀 𝜕𝑦 +𝑀 𝜕𝑈 𝜕𝑦 =𝑈 𝜕𝑁 𝜕𝑥 +𝑁 𝜕𝑈 𝜕𝑥 maka diperoleh 𝑈 𝑥,𝑦 =− 𝑀 𝜕𝑈 𝜕𝑦 −𝑁 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥

Faktor Integrasi …(3) Kondisi Faktor Integral 1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑓 𝑥 1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑓 𝑥 𝑈= 𝑒 𝑓 𝑥 d𝑥 − 1 𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑔 𝑦 𝑈= 𝑒 𝑔 𝑦 d𝑦 𝑈=𝑈 𝑥,𝑦 ℎ 𝑉 =− 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑀 𝜕𝑉 𝜕𝑦 −𝑁 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑈= 𝑒 ℎ V dV

Soal 3. Selesaikan persamaan di bawah ini 4𝑥𝑦+3 𝑦 2 −𝑥 d𝑥+𝑥 𝑥+2𝑦 d𝑦=0

Pengumuman BAHAN UAS SISTEM KOORDINAT PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL