Analisa Data Statistik Agoes Soehianie, Ph.D

Chap 4: Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan)

Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka mean (rata-rata) atau nilai ekspektasi (harapan) dari X adalah μ, yaitu (diskrit dan kontinu) sbb: Contoh. Dilempar 2 buah mata uang, jika X adalah variabel random yg menyatakan banyaknya muncul Angka (A) dalam percobaan tsb, hitunglah nilai ekspektasi X. Jawab. Ruang sampel percobaan ini S = {AA,AG,GA,GG} Probabilitasnya masing-masing P(X=0) = P(GG)= ¼ P(X=1) =P(AG)+P(GA)= ½ dan P(X=2)= P(AA)=1/4

Mean (Rata-Rata) Variabel Random Nilai ekspekstasi X adalah: Hasil ini berarti rata-rata jikalau percobaan ini dilakukan berulang-ulang dalam jumlah besar, rata-rata jumlah mata angka (A) yg muncul dalam 1x percobaan adalah 1 buah. Contoh. Sekotak komponen 7buah diperiksa oleh inspektur QC. Isi kotak tsb 4 komponen baik dan 3 cacat. QC mengambil sampel 3 buah dari kotak tsb. Carilah nilai harapan (rata-rata) banyaknya komponen yang baik yg diperoleh dalam sampel tsb

Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jawab: Kita hitung dulu banyak titik ruang sampel jika diambil 3 dari kotak tsb yg berisi 7. Ini adalah masalah banyak kombinasi 3 obyek yg diambil dari 7 obyek, jadi n(S)= n(S) = C73 = 7!/(3!*(7-3)!) = 35. 7 komponen tsb berisi 4 baik dan 3 cacat. Jika diambil 3 buah acak banyaknya kombinasi yg berisi 1 sampel baik (berarti 2 cacat) adalah (ingat urutan tdk berpengaruh): banyak kombinasi 1 sampel baik dari 4 sampel baik (KALI) banyak kombinasi 2 sampel cacat dari 3 sampel cacat n(1baik, 2cacat) = C41*C32 = 4!/(1!3!) * 3!/(2!1!) = 12 buah Jadi probabilitas terambilnya sampel 3 buah = 1baik +2cacat, P(1baik, 2cacat) = 12/35.

Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jawab: Definisikan variabel random X= banyak komponen baik dari 3 sampel yg terambil, maka, jika f(x) menyatakan probabilitas mendapatkan X=x, berarti f(X=1) = 12/35. Mengikuti pola tsb maka secara umum: Nilai rata-rata X diperoleh dari: Jadi secara rata-rata dalam 1 pengambilan sampel akan berisi 1.7 komponen yg baik

Mean (Rata-Rata) Variabel Random Soal. Dalam sebuah permainan si Badu akan mendapat hadiah Rp. 5000 jika hasil pelemparan 3 buah koin menunjukkan angka semua atau gambar semua. Tapi dia harus membayar Rp 3000 jika yang muncul 1 atau 2 gambar yg muncul dari 3 pelemparan tsb. Berapakah nilai harapan perolehannya?

Mean fungsi Variabel Random Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai ekspektasi variabel random g(X) adalah: Diskrit kontinu Contoh. Misalkan probabilitas jumlah mobil X yg masuk ke sebuah pencucian mobil antara jam 4 dan 5 adalah sbb: x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6 Misalkan g(X)=2X-1 adalah bonus yg diberikan perusahaan cuci mobil tsb. Hitunglah nilai ekspektasi dari bonus yg didapat.

Mean fungsi Variabel Random Jawab. Ekspektasi bonus : E(2X-1) = 7(1/12)+9(1/12)+11(1/4)+13(1/4)+15(1/6)+17(1/6)=12.67

VARIANSI dan KOVARIANSI Nilai rata-rata hanya memberikan info ttg kecenderungan pemusatan data, akan tetapi tidak memberikan gambaran ttg bentuk distribusi atau penyebaran data. X 1 2 3 X 1 2 3 Distribusi dengan mean sama tetapi memiliki dispersi yg berbeda

VARIANSI dan KOVARIANSI Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rata-rata (mean) μ, maka variansi dari X adalah: For discrete x and For continous x Besaran (x-μ) disebut penyimpangan atau deviasi x thd mean. Akar (positif) dari variansi yaitu σ dinamakan standard deviasi.

VARIANSI dan KOVARIANSI Contoh. Misalkan X adalah jumlah mobil yg dipergunakan dalam satu hari dalam sebuah perusahaan. Andaikan distribusi probabilitas dari X untuk perusahaan A diberikan sbb: x 1 2 3 f(x)1 0.3 0.4 0.3 Sedangkan untuk perusahaan B diberikan sbb: x 0 1 2 3 4 f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 Hitunglah rata-rata (mean) dari jumlah mobil yg dipakai Hitunglah variansi dari X untuk masing-masing perusahaan, berikan komentar.

VARIANSI dan KOVARIANSI Jawab. rata-rata untuk masing-masing perusahaan: b) Variansinya:

VARIANSI dan KOVARIANSI Rumus alternatif untuk variansi (buktikan): Keuntungannya sebenarnya kita tak perlu hitung mean dahulu! Contoh. Hitung ulang contoh sebelumnya dg rumus ini! Jawab: atau Untuk perusahaan A:

VARIANSI dan KOVARIANSI Soal. Permintaan mingguan Pepsi adalah X (dalam ribuan liter) dengan fungsi rapat probabilitas: Hitunglah: Mean dari X Variansi dari X

VARIANSI dan KOVARIANSI : Generalization Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) Maka variansi dari variabel random g(x) yg memiliki rata-rata μg, For discrete x and For continous x Contoh. Hitung variansi g(X)=2X+3, dimana X adalah variabel random dg distribusi probabilitas x 0 1 2 3 f(x) ¼ 1/8 ½ 1/8

VARIANSI dan KOVARIANSI : Generalization Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) Maka variansi dari variabel random g(x) yg memiliki rata-rata μg, For discrete x and For continous x Contoh. Pertama hitung mean dari g(X): Variansi g(x) :

KOVARIANSI Misal X dan Y adalah variabel random dengan distribusi probabilitas bersama (joint) f(x,y) kovariansi dari X dan Y adalah: X,Y diskrit X,Y kontinu Kovariansi dari dua variabel random X dan Y merupakan ukuran asosiasi antara keduanya: - jika nilai X besar cenderung menghasilkan Y besar atau X kecil cenderung menghasilkan nilai Y kecil, maka berarti deviasi X yg positif akan cenderung menghasilkan deviasi Y yg positif juga. Sehingga produk (X-μX)(Y-μY) akan cenderung positif. - sebaliknya jika nilai X besar cenderung menghasilkan Y kecil atau sebaliknya, maka produk (X-μX)(Y-μY) akan negatif. - Jadi tanda kovariansi menyatakan sifat asosiasi antara 2 variabel random. - Jika X dan Y secara statistik independen maka kovariansi nya =0, tetapi sebaliknya tidaklah selalu benar. - Demikian juga nilai kovariansi =0 hanya mengukur linear kovariansi.

KOVARIANSI Rumus alternatif untuk kovariansi (buktikan): Contoh. Berikut ini adalah fungsi distribusi probabilitas bersama antara variabel X dan Y. Carilah kovariansi X dg Y f(x,y) X Total baris 1 2 h(y) y 3/28 9/28 15/28 3/14 3/7 1/28 g(x) 5/14

KOVARIANSI Pertama hitung mean masing-masing variabel: Kemudian hitung E(XY)= E(XY)=0+0+0+0+3/14+0+0+0+0 = 3/14 Sehingga kovariansi X dg Y adalah:

KOVARIANSI Soal. Persentase pelari pria X dan pelari wanita Y yg bertanding di suatu maraton memiliki fungsi rapat distribusi bersama: Hitunglah Fungsi rapat probabilitas marginal untuk X dan Y Kovariansi antara X dan Y

KORELASI Walaupun kovariansi memberikan info ttg sifat hubungan asosiasi (linear) antara dua variabel random X dan Y, tetapi besarnya kovariansi TIDAK memberi info tentang kekuatan asosiasinya sebab nilai kovariansi tidak bebas skala X dan Y! Versi kovariansi yg bebas skala (sehingga bisa mengukur kekuatan asosiasi linearnya) diberikan oleh koefisien korelasi, yg didefinisikan sbb: Nilai ρXY akan berkisar dari -1 hingga 1, sebab ρ bebas skala X dan Y.

Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jika a dan b adalah konstanta, dan X adalah variabel random, maka nilai rata-rata dari Y=aX+b adalah: E [Y] = E[aX+b] = aE[X]+b Jika a=0, maka E[b] = b Jika b=0, maka E[aX] =a E[X] Jika X adalah variabel random, dan g(X) serta h(X) adalah fungsi-fungsi dari X tsb maka nilai rata-rata dari g(X)+h(X) diberikan oleh: E[ g(X)+h(X)] = E[g(X)]+E[h(X)]

Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jika X dan Y adalah dua variabel random yg independen (saling bebas), maka E[XY] = E[X]*E[Y] Contoh. Dalam produksi Ga-As chips diketahui rasio antara Ga:As adalah independen dalam menghasilkan prosentase yg tinggi dari chips yg baik. Misalkan X adalah rasio dari Ga:As dan Y prosentase dari chips yg baik. Diketahui X dan Y adalah variabel random dengan distribusi rapat probabilitas bersama: Tunjukkan bahwa E[XY] = E[X]*E[Y]

Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jawab: Dengan menggunakan definisi E[X], E[Y] dan E[XY]:

Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Soal: Jika a dan b konstanta buktikan bahwa: