Statistika Non Parametrik Kasus k Sampel Independen Tes X2 untuk k Sampel Independen Perluasan Tes Median Analisis Rangking Satu Arah Kruskal-Wallis

Tes X2 untuk k sampel independen Perluasan langsung dari tes X2 untuk dua sampel independen Dipakai untuk menentukan signifikansi perbedaan-perbedaan antara k kelompok-independen, jika frekuensi dalam kategori-kategori yang diskrit baik nominal atau ordinal.

Langkah-langkah penggunaan tes X2 untuk k sampel independen Susun frekuensi – frekuensi observasi dalam suatu table kontigensi k x r, dengan menggunakan k kolom untuk kelompok-kelompoknya Tentukan frekuensi yang diharapkan dibawah Ho untuk tiap-tiap sel dan membagi hasil kalinya dengan N (N adalah jumlah dari jumlah pinggir tiap kelompok, yang merupakan jumlah semua observasi-independen. Harga N yang terlalu besar ini buat tes ini tidak berlaku).

Langkah-langkah penggunaan tes X2 untuk k sampel independen Hitung X2 dengan rumus 6.3 sebagai berikut: r k X2 =   , tentukan i=1 j=1 db = ( k – 1 ) ( r – 1 ) Tentukan signifikansi harga observasi X2 dengan memakai tabel C  Ho ditolak jika kemungkinan memberikan harga untuk db tersebut   ( Oij – Eij )2  Eij

Contoh Soal tes X2 untuk k sampel independen Dalam stratifikasi sosial suatu masyarakat terbagi menjadi lima kelas yaitu : I, II, III, IV, dan V. penelitian berpusat pada korelasi-korelasi stratifikasi di antara kaum muda pada masyarakat tersebut. Ramalan : para remaja dalam kelas-kelas sosial yang berlainan akan mencatatkan diri mengikuti kurikulum-kurikulum yang berbeda (persiapan perguruan Tinggi, Umum, perdagangan) disekolah menengah atas. Keanggotaan kelas sosial terhadap 390 siswa.

Tabel 8.1 Frekuensi Pendaftaran Pemuda–Pemuda Dari Lima Kelas Sosial Pada Tiga Kemung- kinan Kurikulum Sekolah Menengah Atas Kurikulum Kelas sosial Total I dan II III IV V Persiapan PT Umum Perdagangan 7,3 23 18,6 11 9,1 1 30,3 40 77,5 75 38,2 31 38 16 97,1 107 47,9 60 5,4 2 13,8 14 6,8 10 81 207 102 35 146 183 26 390

H0 : proporsi siswa yang tercatat dalam ketiga kurikulum tersebut adalah sama untuk semua kelas sosial (I – V) H1 : proporsi siswa yang tercatat dalam ketiga kemungkinan kurikulum tersebut berbeda antara kelas yang satu dengan kelas sosial yang lain Harga X2 mencerminkan besar perbedaan antara harga-harga yang diharapkan di dalam tiap-tiap sel.

Perhitungan: r k (Oij – Eij)2 X2 =    i=1 j=1 Eij = (23–7,3)2 + (40- 30,3)2 + (16- 38,0)2 + (2-5,4)2     7,3 30,3 38,0 5,4 (11–18,6)2 + (75- 77,5)2 + (107- 97,1)2 + (14-13,8)2     18,6 77,5 97,1 13,8 (1 – 9,1)2 + (31,0 - 38,2)2 + (60-47,9)2 + (10-6,8)2     9,1 38,2 47,9 6,8 = 33,8+3,1+ 12,7++2,1+3,1+0.08+1,0+0,003+7,3+1,4+3,1+1,5 = 69,2  Tabel C  p < 0,001  Ho ditolak Kesimpulan : pendaftaran kurikulum para siswa tidak independen terhadap keanggotaan kelas sosial diantara kaum muda (p < 0,001)

Coso 2… Pelanggaran lalu lintas di KMS Tingkat pendidikan Pelanggaran Total + - SD 6 a 4 b 10 SLTP 24 c 14 d 38 SMU 40 e 20 f 60 PT g 11 h 71 TOTAL 130 49 179

( Oi – Ei )2 X2 =  Ei fe ? 60 x 130 e =  = 43,58 179 60 x 49 f =  = 16,43 179 71 x 130 g =  = 51,56 179 71 x 49 h =  = 19,44 179 10 x 130 a =  = 7,23 179 10 x 49 b =  = 2,74 179 28 x 130 c =  = 27,60 179 38 x 49 d =  = 10,40 179

Perluasan tes median Fungsi : Perluasan tes median ini menentukan apakah k kelompok independen (tidak harus berukuran sama) telah ditarik dari populasi yang sama atau dari populasi-populasi bermedian sama. Tes ini berguna kalau variabel yang dikaji sekurang-kurangnya diukur dalam skala ordinal.

Langkah-langkah perluasan tes median: Tentukanlah median bersama-sama skor-skor k dalam kelompok. Bubuhkanlah tanda tambah untuk semua skor diatas median itu dan tanda kurang untuk semua skor dibawah median, dengan demikian terpisahlah skor dalam masing-masing k kelompok pada median gabungan tersebut. Tuangkanlah frekuensi-frekuensi yang didapatkan kedalam suatu tabel k x 2.

Langkah-langkah perluasan tes median: Menggunakan data dalam tabel itu, hitunglah harga-harga X2 seperti yang ditunjukkan rumus ( 6.3 ). Tentukanlah db = k - 1 Tentukanlah signifikansi harga observasi X2 dengan menggunakan Tabel C sebagai acuan. Jika kemungkinan yang berkaitan dengan harga-harga yang sebesar harga observasi X2. sana dengan atau lebih kecil dari pada , tolaklah H0 dan terima H1.

Contoh : Misalkan seorang peneliti bidang pendidikan ingin mempelajari pengaruh banyak pendidikan yang diperoleh terhadap tingkat minat ibu dalam hal sekolah anaknya. Peneliti itu mengambil tingkat sekolah tertingi yang ditamatkan oleh seorang ibu sebagai indeks banyak pendidikan yang diperolehnya. Sedangkan sebagai indeks minat dan perhatian terhadap sekolah anaknya, peneliti memakai dasar jumlah kunjungan suka rela setiap ibu kesekolah selama satu tahun ajaran. Kunjungan itu misalnya ke- permainan – permainan kelas, kepertemuan orang tua murid, kepertemuan atas prakarsa sendiri dengan para guru serta penyelenggara sekolah dan sebagainya.

Contoh : (lanjutan) Dengan menarik setiap nama kesepuluh dari daftar nama ke-440 anak-anak yang terdaftar disekolah itu,dia memperoleh nama 40 ibu yang merupakan sampelnya. Hipotesisnya adalah banyak kunjungan ibu akan bervariasimenurut banyak tahun yang dilewati ibu-ibu itu untuk bersekolah. H0: tidak ada perbedaan dalam frekuensi kunjungan kesekolah diantara para ibu yang berlainan tingkat pendidikan yang mereka terima, yakni frekuensi kunjungan ibu ke sekolah adalah independen terhadap tingkat pendidikan yang diperoleh si ibu. H1: frekuensi kunjungan kesekolah oleh ibu berbeda-beda menurut tingkat pendidikan yang diterima si ibu.

Pendidikan yang didapat ibu Tabel 8.2 Jumlah Kunjungan Kesekolah Oleh Ibu-bu dari Ber- macam Tingkat Pendidikan Pendidikan yang didapat ibu SD SLTP SLTA PT Lulus PT Pasca sarjana 4 3 7 1 2 5 6 8 9

Pendidikan yang didapat ibu Median bersama untuk 44 skor tersebut adalah 2,5 artinya, setengah dari para ibu mengunjungi sekolah 2 kali atau kurang selama tahun ajaran itu, dan setengah nya lagi berkunjung tiga kali atau lebih.  Ibu Pendidikan yang didapat ibu Total SD SLTP SLTA PT - TL PT - LL PASCA  Ibu A 5 5,5 4 6,5 7 2 3 1 22  Ibu B 6 10 11 13 44 A = jumlah ibu yang kunjungannya lebih sering dari pada median bersama banyak kunjungan B = jumlah ibu yg kunjungannya kurang sering dari pada median

Pendidikan yang ditamatkan ibu Total SD SLTP SLTA PT > 1 th A 5 5,5 4 6,5 7 6 22 B 10 11 13 44 r k X2 =   i=1 j=1 (5 - 5)2 (4 – 5,5)2 (4 – 5)2 =  +  + …………. +  5 5,5 5 = 0 + 0,409 + 0,0385 + 0,2 + 0 + 0,409 + 0,0385 + 0,2 = 1,295 Tabel C  db = k – 1 = 4 – 1 = 3 ( Oij – Eij )2  Eij

Rule of Thumb untuk uji X2 Tidak boleh ada Expected Value (E) pada setiap sel yang kurang dari 1. Tidak boleh lebih dari 20% dari jumlah sel yang mempunyai Expected Value (E) pada setiap sel yang kurang dari 5. Bila “Rule of Thumb” tidak terpenuhi: Tabel 2x2 gunakan uji Fisher Exact.

Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal - Wallis Fungsi :untuk menentukan apakah k sampel independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda. Teknik Kruskal – Wallis menguji hipotesis-nol bahwa k sampel berasal dari populasi yang sama atau populasi identik, dalam hal harga rata-rata. Tes ini membuat anggapan bahwa variabel yang dipelajari mempunyai distribusi kontinou. Tes ini, menuntut pengukuran variabelnya paling lemah dalam skala ordinal

Langkah – langkah : Berilah ranking-ranking observasi untuk kelompok itu dalam suatu urutan dari 1 hingga N Tentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing-masing k kelompok. Jika suatu propoprsi yang besar diantara observasi-observasi itu berangka sama, hitunglah harga H dari rumus 8.3. jika tidak, gunakan rumus 8.1 Metode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada ukuran k dan pada ukuran kelompok itu.

jika k=3 dan n1, n2 dan n3  5  Tabel 0 dalam kasus lain, signifikansi uatu harga sebesar harga H dapat ditaksir dengan menggunakan Tabel C Jika kemungkinan yang berkaitan dengan harga observasi H adalah sama dengan atau kurang dari , tolaklah H0. Statistik yang digunakan dalam tes Kruskal–Wallis didefinisikan dengan rumus 8.1 berdistribusi Chi–Kuadrat dengan db = k – 1, dengan syarat bahwa ukuran k sampel itu tidak terlalu kecil.

12 k Rj2 H =    - 3 ( N+1)………….8.1 N(N+1) j=1 nj k = banyak sampel nj = banyak kasus dalam sampel ke–j N =  nj = banyak kasus dalam semua sampel k  = menunjukkuan kita harus menjumlahkan J=1 seluruh k sampel (kolom-kolom) mendekati distribusi chikuadrat dengan db = k -1 untuk ukuran sampel (harga nj) yang cukup besar.

Observasi - observasi berangka sama Kalau terjadi angka sama antara dua skor atau lebih, tiap-tiap skor mendapatkan ranking yang sama, yaitu rata-rata rankingnya  perlu koreksi  dibagi dengan T 1 -  …………………………… 8.2 N3 – N Dimana : T = t2-1 (kalau t adalah banyak observasi-observasi berangka sama ) N = banyaj observasi dlm seluruh k sampel bersama- sama, yakni N =  nj T= menunjukkan kita untuk menjumlahkan semua kelompok berangka sama.

Rumus umum untuk H yang sudah dikoreksi : 12 k Rj2    - 3 ( N+1) N(N+1 ) j=i nj H =  …………………….. 8.3 T 1 -  N3 – N

Dengan koreksi yg dilakukan utk angka sama ini, harga H ditingkatkan dan dengan demikian hasilnya lebih signifikan dibandingkan dengan tanpa koreksi. Oleh karena itu, jika kita dapat menolak Ho tanpa koreksi (yakni dg rms 8.1 utk menghitung H)  maka dg menggunakan rms koreksi tsb kita akan menolak Ho bahkan pd tingkat signifikansi yg lebih meyakinkan. Dalam kebanyakan kasus, akibat koreksi itu dapat diabaikan  jika yg terlibat dlm angka sama tidak lebih dari 25% observasi, kemungkinan yg berkaitan dg suatu H yg dihitung tanpa koreksi angka sama (yakni kalau digunakan rms 8.1), jarang sekali berubah dengan lebih dari 10% bila dilakukan koreksi angka sama itu, yakni jika H dihitung dngan rumus 8.3.

Contoh untuk sampel kecil Misalkan seorang peneliti bidang pendidikan hendak menguji hipotesis bahwa para administrator sekolah biasanya lebih bersifat otoriter dari pada guru kelas. Sungguhpun demikian, peneliti itu tahu bahwa data yang dipakai untuk menguji hipotesis ini mungkin “dikotori” oleh kenyataan bahwa banyak guru kelas yang memiliki orientasi administratif dalam aspirasi-aspirasi profesional mereka. Artinya banyak guru yang menganggap para administrator sebagai reference group.

Contoh untuk sampel kecil (lanjutan) Untuk menghindari pengotoran itu dia merencanakan untuk membagi 14 subyeknya ke dalam tiga kelompok. Para guru yang mempunyai orintasi pengajaran (para guru yang ingin tetap dalam posisinya selaku guru); Para guru yang mempunyai orientasi administratif (para guru kelas yang mempunyai cita-cita menjadi adsministrator); dan Administrator (penyelenggara) sekolah. Peneliti menerapkan skala F1 (suatu pengukuran terhadap keotoriteran) pada masing-masing pada 14 subyek itu. Hipotesisnya ialah bahwa ketiga kelompok tadi akan berbeda dalam harga rata-rata pada skala F itu. Disajikan dalam Adorno,TW, et al., 1950. The Authoritarian Personality. New York: Harper

Tabel 8.5 Skor Keotoriteran Ketiga Kelompok Pendidik (bukan data sejati) Guru yang berorientasi pada pengajaran Guru yang berorientasi adsministratif Administrator Skor Rangking 96 4 82 2 115 7 128 9 124 8 149 13 83 3 132 10 155 14 61 1 135 11 147 12 101 5 109 6 R1 = 22 R2 = 37 R3 = 46

12 k Rj2 H =    - 3 (N + 1) ……………………………. (8 12 k Rj2 H =    - 3 (N + 1) ……………………………. (8.1) N(N+1 ) j-I nj 12 (22)2 (37)2 (46)2 =    +  +   - 3 ( 14 + 1 ) 14(14+1 ) 5 5 4 = 6,4 Dengan Tabel O  untuk nilai nj adalah 5, 5 dan 4 H  6,4 mempunyai mempunyai kemunculan dibawah Ho sebesar p < 0,049 H0  ditolak Kesimpulan : tiga kelompok pendidik yang ditunjuk itu berbeda dalam tingkat keotoriteran mereka

Contoh untuk sampel besar Seorang penyelidik mencatat berat ketika lahir anak-anak babi yang merupakan anggota 8 kelompok seinduk yang banyak anggotanya berlain-lainan. Peneliti itu ingin menentukan apakah berat badan waktu lahir dipengaruhi oleh ukuran banyak anak babi dari satu persatu kehamilan. Hipotesis nol. H0 : tidak terdapat perbedaan dalam rata-rata berat ketika lahir pada babi-babi yang berasal dari ukuran besar keturunan yang berbeda-beda dari satu kehamilan. H1 : rata-rata berat ketika lahir itu tidak sama antara babi-babi yang berasal dari ukuran besar keturunan yang berbeda-beda.

Tes statistik. Karena kedelapan “kelompok keturunan” itu independent cocok dipakai. Sungguhpun pengukuran berat dalam pon adalah pengukuran dalam skala rasio, kita menggunakan analisis varian satu arah non parametrik, dan bukannya tes parametrik yang ekuivalen. Ini ditempuh, agar kita terhindar dari keharusan membuat anggapan normalitas dan homogenitas varian yang berkaitan dengan tes F parametrik, agar generalitas penemuan kita dapat ditingkatkan. Tingkat signifikansi. Tetapkan  = 0,05. N = 56 = banyaknya semua bayi babi yang telah dipelajari.

Distribusi sampling. Sebagai yang dihitung dari rumus(8. 1) Distribusi sampling. Sebagai yang dihitung dari rumus(8.1). H mendekati distribusi chi-kuadrat denagn db= k-1. jadi kemungkinan yang berkaaitan dengan terjadinya, dibawah H0 harga-harga yang sebesar harga H observasi dapat diketahui dengan memakai tabel C sebagai acuan. Daerah penolakan. Daerah penolakannterdiri fdari semua harga H yang sedemikian besar, sehingga kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya harga-harga itu dibawah H0 untuk db = k-1 = 7 adalah sama dengan atau kurang dari  = 0.05

Keputusan. Berat badan 56 bayi babi yang termasuk dalam kedelapan “kelompok keturunan seinduk” disajikan dalam tabel 8.7. jika kita mengurutkan 56 berat badan ini, kita dapatkan harga ranking yang disajkikan dalam tabel 8.8. perhatikanlah bahwa kita telah memberikan ranking 56 skor itu dalam satu rangkaian tunggal, sebagai yang diminta oleh tes ini. Bayi babi terkecil, yakni anggota terakhir kelompok turunan pertama, berat 1.1 pon, diberi ranking 1. bayi babi yang terberat, juga dalam kelompok turunan pertama, berat 4,4 pon; berat badan ini mendapatkan ranking 56. dalam tabel 8.8 juga ditunjukkan jumlah ranking masing-masing kolom, yakni R1.

Kelompok turunan seinduk Tabel. 8.7. berat badan waktu lahir: delapan kelompok turunan seinduk babi poland china, musim semi 1919 (dalam pon) Kelompok turunan seinduk 1 2 3 4 5 6 7 8 2.0 3.5 3.3 3.2 2.6 3.1 2.5 2.8 3.6 2.9 2.2 2.4 3.0 1.5 4.4 2.3 1.2 2.1 1.9 1.6 3.4 1.1

Tabel 8.8. Ranking Berat Badan Waktu Lahir Delapan Kelompok Turunan Babi 1 2 3 4 5 6 7 8 8.5 27.5 47.5 41.0 56.0 54.5 6.0 1.0 52.5 14.5 15.5 5.0 23.0 36.0 31.5 51.0 18.5 11.0 12.5 2.5 34.0 4.0 R1=317,0 R2=216,5 R3=414,0 R4=277,5 R5=105,5 R6=122,0 R7=71,5 R8=72,0

Dengan data dalam Tabel 8 Dengan data dalam Tabel 8.8, kita dapat menghitung harga H tanpa koreksi untuk angka sama, dengan rumus (8.1) :

Tabel C menunjukkan bahwa suatu H  18,464 dengan dk = k - 1 = 7 mempunyai kemungkinan kemunculan dibawah H0 sebesar p < 0,02. Untuk mengadakan koreksi angka sama, pertama harus kita ketahui ada berapa kelompok angka sama yang terjadi, dan berapa banyak skor yang berangka sama dalam tiap-tiap kelompok. Angka sama pertama yang terjadi antara dua babi dalam kelompok turunan 7 (yang keduanya mempunyai berat 1,2 pon). Untuk keduanya diberikan harga ranking 2,5. disini t = t3 - t = 8 - 2 = 6. Angka sama berikutnya terjadi antara empat babi yang diberi harga ranking berangka sama 8,5. disini t = 4, dan T = t2 - t = 64 – 4 = 60.

Dengan terus memeriksa data dalam Tabel 8 Dengan terus memeriksa data dalam Tabel 8.8 secara demikian, kita ketahui bahwa terdapat 13 kelompok angka sama. Kita dapat menghitung banyaknya observasi dalam tiap-tiap kelompok berangka sama menentukan berbagai harga t, dan kita dapat menghitung harga T = t -1 dalam setiap kasus. Penghitungan ini akan menghasilkan hasil hitungan sebagai berikut: t 2 4 5 3 7 6 T 60 120 24 336 210

Amatilah bahwa untuk tiap harga t tertentu, harga T adalah suatu konstan. Kini, dengan menggunakan rumus (8.2) kita dapat menghitung koreksi total untuk angka yang sama : T 1 -  …………………………… 8.2 (tr 23) N3 – N (6+60+6+6+60+120+60+60+24+336+210+6+6) = 1-  (56)3 – 56 = 0,9945

Sekarang, harga itu menjadi penyebut pada rumus (8 Sekarang, harga itu menjadi penyebut pada rumus (8.3), dan harga yang telah kita dapatkan dari rumus (8.1) sebagai pembilangnya. Dengan demikian, kita hanya perlu melakukan satu langkah tambahan untuk menghitung harga H yang dikoreksi untuk angka sama:

Tabel C menunjukkan bahwa kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya, dibawah H0; suatu harga yang sebesar H = 18,566, db = 7, adalah p < 0,01. karena kemungkinan ini lebih kecil daripada tingkat signifikansi  = 0,05 yang kita tetapkan sebelumnya, keputusan kita adalah menolak H0. kita simpulkan bahwa berat badan waktu lahir babi-babi berbeda secara signifikan sehubungan dengan ukuran (besar) kelompok keturunan.

Contoh-contoh Summarize n Perlakuan A Ra B Rb C Rc D Rd E Re 1 2,00 2 2,00 2 19,50 8,50 3 4 5 Mean 0,6 5,9 1,2 11,6 1,6 15,1 1,8 17,3

NPar Tests Kruskal-Wallis Test

Post Hoc Tests

Contoh-contoh

NPar Tests Kruskal-Wallis Test

Contoh-contoh