PERTEMUAN VI Analisa Dualitas dan Sensitivitas Definisi Masalah Dual Relasi Primal Dual Interpretasi Variabel Dual dan Constraint Dual

Tujuan Menjelaskan relasi antara simpleks primal dan simpleks dual

Teori Dualitas Latar Belakang : setiap model LP memiliki model LP lain yang saling berkaitan (dual)  (yang semula PRIMAL juga memberi solusi pada DUAL nya).

Definisi Dual Definisi dual akan bergantung pada: Jenis pembatas

Definisi Masalah Dual Permasalahan LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP Primal. Bentuk umum LP Primal: Max or Min z =

Definisi Masalah Dual (cont’d) Model dual diperoleh secara simetris dari model primal dgn mengikuti aturan berikut: Untuk setiap batasan primal terdapat 1 var. dual. Untuk setiap var. primal terdapat 1 batasan dual. Koefisien batasan dari 1 var. primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan dual yg bersesuaian; dan koefisien tujuan dari variabel yg sama menjadi sisi kanan dari batasan dual.

Definisi Masalah Dual (cont’d) Variabel Primal x1 x2 xj Sisi kanan batasan dual xn c1 c2 …. cj cn a11 a12 a1j a1n b1 a21 a22 a2j a2n b2 . b3 am1 am2 amj amn b4 Variabel Dual Sisi kiri batasan dual Batasan Dual ke-j Tujuan Dual

Tabel Konv. Primal Dual Dual Tujuan Batasan Variabel Maksimasi Tujuan Primal Std Dual Tujuan Batasan Variabel Maksimasi Minimasi ≥ Tdk dibatasi ≤

Contoh: Primal Max z = 5x1 + 12x2 + 4x3 Batasan x1 + 2x2 + x3 ≤ 10 2x1 - x2 + 3x3 = 8 x1 ,x2 , x3 ≥ 0

Primal Standard Konversi ke bentuk standar: Max z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 Batasan x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10 2x1 - x2 + 3x3 + 0s1 = 8 x1 ,x2 , x3 , s1, ≥ 0 Dual Min w = 10y1 + 8y2 Batasan y1+ 2y2 ≥ 5 2y1 - y2 ≥ 12 y1+ 3y2 ≥ 4 y1 ≥ 0 y2 tidak dibatasi

Dual Min w = 10y1 + 8y2 Batasan x1 : y1+ 2y2 ≥ 5 x2 : 2y1 - y2 ≥ 12 x3 : y1+ 3y2 ≥ 4 s1 : y1+ 0y2 ≥ 0 y1 ,y2 tidak dibatasi

Dual (Cont’d) Min w = 10y1 + 8y2 Batasan y1+ 2y2 ≥ 5 2y1 - y2 ≥ 12 y1+ 3y2 ≥ 4 y1 ≥ 0 y2 tidak dibatasi

Interpretasi Ekonomi Dua Indikator Ekonomi : dual price & reduced cost Dual price mewakili nilai per unit dari sumber daya LP -> model Dual Reduced Price mewakili penurunan dalam biaya per unit sumber daya yang diperlukan (atau kenaikan dalam pengembalian marginal) untuk membuat sebuah kegiatan sumber daya LP(var) sekedar menguntungkan. -> model primal

Bentuk Primal RM Max z = 3xE + 2x I+ 0s1+ 0s2+ 0s3+ 0s4 Batasan xE + 2x I+ s1 = 6 2xE + x I + 1s2 = 8 -xE + x I + s3 = 1 x I + s4 = 2 xE , x I, s1, s2, s3, s4 ≥ 0 Dual: Min z = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 Batasan: Y1 + 2y2 – y3 >= 3 2y1 + y2 + y3 +y4 >= 2 y1, y2, y3, y4 >= 0

Bentuk Dual RM Min z = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 Batasan: Y1 + 2y2 –y3 >= 3 2y1 + y2 +y3 +y4 >= 2 y1,y2,y3,y4 >= 0

Iterasi Optimal Model RM Primal Basis xE xI s1 s2 s3 s4 Solusi z 1/3 4/3 122/3 1 2/3 -1/3 -1 -2/3 10/3 3 Cj 2 Cj-Zj -4/3 Nilai Cj-Zj pada kolom s1 -1/3 berarti apabila dilakukan penambahan pada ketersediaan maksimum bahan mentah A, maka akan mengurangi laba sebesar 1/3.

Solusi Dual dapat dilihat dari tabel optimal Simpleks Primal yaitu nilai cj-zj pada kolom s1 & s2 (cell yg berwarna kuning). s1 dan s2 mewakili var slack pada constraint ketersediaan bahan mentah A dan bahan mentah B. Apabila iterasi Simpleks dual dijalankan, maka nilai w adalah 12 2/3 (=nilai z) dengan y1 =1/3 dan y2=4/3, sedangkan y3 dan y4 =0. Hal ini berarti untuk menambah ketersediaan bahan mentah A sebanyak 1 ton/hari, diperlukan biaya $1/3 ribu

Analisis Sensitivitas Terdapat beberapa perubahan yang berhubungan dengan sensitivitas dari LP. Yang dibahas kali ini yaitu: Perubahan NBV pada keofisien fungsi tujuan Perubahan BV pada keofisien fungsi tujuan

Contoh: Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 Batasan 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 x1 ,x2 , x3 ≥ 0

Penyelesaian Konversi ke bentuk standar: Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 Batasan 8x1 + 6x2 + x3 + s1 = 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 + s2 = 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 + s3 = 8

Tabel Iterasi 2 (Optimal) BV x1 x2 x3 s1 s2 s3 Solusi z 1 5 10 280 -2 2 -8 24 -4 8 1.25 -0.5 1.5 BV = s1, x3 , x1 NBV = x2, s2, s3

Perubahan NBV Pada Koefisien Fungsi Tujuan NBV = x2. Koefisien f. tujuan = 30  C2 Jika C2 diubah, bagaimana pengaruhnya terhadap solusi optimal? Perubahan c2 dari 30  30+∆ tidak akan mengubah harga pembatas kanan dan Matriks B-1 yang diperoleh dari iterasi terakhir untuk variabel basis (s1, s2 , s3). Satu-satunya variabel yang berubah karena perubahan c2 adalah x2

Perubahan Koefisien BV Pada Fungsi Tujuan Bagaimana apabila c1 & c3 yang mewakili koeefisien x1 dan x3 dirubah?