Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -II” 2

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui 3

Sesi 3 1.Integral Tak Tentu 2.Integral Tentu 4

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial Pengertian-Pengertian 5 1. Integral Tak Tentu

Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi Tinjau persamaan diferensial Karena maka fungsi juga merupakan solusi 6

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari 7 dapat dituliskan

Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahu bahwa Contoh: oleh karena itu 8

Carilah solusi persamaan Contoh: kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda Jika kedua ruas diintegrasi 9

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n   1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1). 10

Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. kurva adalah kurva bernilai tunggal x y = 10x 2 y K1K1 K2K2 K3K3 y i = 10x 2 +K i y x kurva adalah kurva bernilai banyak 11

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4. Contoh: kecepatan percepatan waktu Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,. sehingga pada t = 4 posisi benda adalah Kondisi awal: pada t = 0, s 0 = 3 12

Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh: y = f(x) =2 y x 0 2 p x x+  x q A px  A px atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p atau 13

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p x x+  x q y x y = f(x) 0 f(x)f(x) f(x+x )f(x+x ) A px  A px  A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan  A px = f(x)  x atau  A px = f(x+  x)  x x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+  x Jika  x  0: 14

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k )  x k Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k +  x)  x k Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen Integral Tentu

Jika  x k  0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k )  x k Luas tiap segmen dihitung sebagai f(x k +  x)  x k Jika x 0k adalah nilai x di antara x k dan x k+1 maka Nilai limit itu merupakan integral tentu 16

p x 2 x k x k+1 x n q y x y = f(x) 0 Luas bidang menjadi 17

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Definisi Contoh: x 18 Luas Bidang Luas antara y = x 3 – 12x dan sumbu-x dari x =  3 sampai x = +3.

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai A px, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x p q y x A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 y = f(x) 19

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva berada di atas p q y x 0 y1y1 y2y2 x x+xx+x  A px Rentang dibagi dalam n segmen jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga  x menuju nol kita sampai pada suatu limit 20

Jika dan berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2 dari x 1 = p =  2 sampai x 2 = q = +3. Contoh: Jika dan berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. Contoh: Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y 1 dan y y2y2 y1y1 y 2 di atas y 1 y x 21

Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. Contoh: Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva y 1 di atas y 2 y 1 y 2 y x 22

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Penerapan Integral Contoh: Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah 23

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah Contoh: Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. 24

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok xx Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+  x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan  V adalah Volume balok V adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+  x). Apabila  x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika  x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : 25 Volume Sebagai Suatu Integral

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x y x xx O Q P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong 26

Rotasi Bidang Sembarang y x xx 0 a b f(x)f(x) Rotasi Gabungan Fungsi Linier Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian. y x xx 0 a b f2(x)f2(x) f1(x)f1(x) f3(x)f3(x) 27

Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika II Sesi 3 Sudaryatno Sudirham 28