Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 7 4. TEORI BILANGAN Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil, yang mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02.

Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b bilangan bulat, a  0. Maka a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac. Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0. Contoh: (a) 4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. (b) 4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

Teorema Euclidean Teorema Euclidean 1: Contoh: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r dengan 0  r < n. Contoh: (a) 1987/97 = 20, sisa 47 1987 = 9720 + 47 (b) 25/7 = 3, sisa 4 25 = 73 + 4 (c) –25/7 = –4, sisa 3 –25 = 7(–4) + 3 Tetapi bukan –25 = 7(–3) – 4, karena remainder r = –4 (sementara syarat 0  r < n)

Pembagi Bersama Terbesar (PBT) Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b. Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d. Contoh: Tentukan PBT(45,36) ! Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9. Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.

Pembagi Bersama Terbesar (PBT) Teorema Euclidean 2: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0, sedemikian sehingga m = nq + r, 0  r < n. Maka PBT(m,n) = PBT(n,r). Contoh: Ambil nilai m = 66, n = 18, 66 = 183 + 12 Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6

Algoritma Euclidean Tujuan Penemu Algoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat. Penemu Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.

Algoritma Euclidean Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m  n, misalkan r0 = m dan r1 = n. Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk memperoleh: r0 = r1q1 + r2 0  r2  r1, r1 = r2q2 + r3 0  r3  r2, ri–2 = ri–1qi–1 + ri 0  ri  ri–1, ri–1 = riqi + 0 … Menurut Teorema Euclidean 2, PBT(m,n) = PBT(r0,r1) = PBT(r1,r2) = … = PBT(ri–2,ri–1) = PBT(ri–1,ri) = PBT(ri,0) = ri Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut, yaitu ri.

Algoritma Euclidean Algoritma Euclidean Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m  n). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n. Algoritma Euclidean 1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP. Jika n  0, lanjutkan ke Langkah 2. 2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke Langkah 1.

Algoritma Euclidean Contoh: Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat m  n dipenuhi. 80 = 126 + 8 12 = 81 + 4 8 = 42 + 0 n = 0  m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP.

Koefisien, dapat dipilih bebas Kombinasi Linier PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari a dan b dengan koefisien-koefisennya yang dapat dipilih bebas. Contoh: PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)80 + 712 Koefisien, dapat dipilih bebas Teorema Kombinasi Linier: Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBT(a,b) = ma + nb.

Kombinasi Linier Contoh: Solusi: Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312 dan 70! Solusi: Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(312,70) = 2 sbb: 312 = 470 + 32 (1) 70 = 232 + 6 (2) 32 = 56 + 2 (3) 6 = 32 + 0 (4) Susun (3) menjadi 2 = 32 – 56 (5) Susun (2) menjadi 6 = 70 – 232 (6) Masukkan (6) ke (5) menjadi 2 = 32 – 5(70 – 232) = 132 – 570 + 1032 = 1132 – 570 (7) Susun (1) menjadi 32 = 312 – 470 (8) Masukkan (8) ke (7) menjadi 2 = 1132 – 570 = 11(312 – 470) – 570 = 11312 – 4970 Jadi, PBT(312, 70) = 2

Aritmatika Modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m Hasil dari modulo m terletak di dalam himpunan { 0,1,2,…,m–1 }

Kongruen Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3. Maka dikatakan 38  13 (mod 5). Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5. Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0. Jika m habis membagi a – b, maka a  b (mod m). Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a  b (mod m).

Kongruen Contoh: 17  2 (mod 3)  3 habis membagi 17–2 = 15  7 tidak habis membagi 12–2 = 10 –7  15 (mod 3)  3 tidak habis membagi –7–15 = –22

Kongruen Contoh: Contoh: a  b (mod m) dapat dituliskan sebagai a = b + km (k adalah bilangan bulat). Contoh: 17  2 (mod 3)  17 = 2 + 53 –7  15 (mod 11)  –7 = 15 + (–2)11 a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a  r (mod m). Contoh: 23 mod 5 = 3  23  3 (mod 5) 6 mod 8 = 6  6  6 (mod 8) 0 mod 12 = 0  0  0 (mod 12) –41 mod 9 = 4  –41  4 (mod 9) –39 mod 13 = 0  –39  0 (mod 13)

Kongruen Teorema Kongruen: Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1. Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka (a + c)  (b + c) (mod m) ac  bc (mod m) ap  bp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif 2. Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m), maka (a + c)  (b + d) (mod m) ac  bd (mod m)

Kongruen Contoh: Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut Teorema Kongruen, 17 + 5  2 + 5 (mod 3)  22  7 (mod 3) 175  25 (mod 3)  85  10 (mod 3) 17 + 10  2 + 4 (mod 3)  27  6 (mod 3) 1710  24 (mod 3)  170  8 (mod 3)

Relatif Prima Contoh: Contoh: Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBT(a,b) = 1. Contoh: 20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1. 7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1. 20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1. Contoh: Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1, sehingga dapat ditulis 220 + (–13)3 = 1 (m = 2, n = –13). Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1, sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m20 + n5 = 1.

Inversi Modulo Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse) dari perkalian adalah pembagian. Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4  1/4 = 1. Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi modulo lebih sukar. Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka terdapat inversi (balikan) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a  1 (mod m).

Inversi Modulo Contoh: Solusi: Tentukan balikan dari 4 (mod 9) ! Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 9 = 24 + 1. Susun persamaan di atas menjadi   –24 + 19 = 1. Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).  Periksa bahwa  –24  1 (mod 9)

Inversi Modulo Contoh: Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9) adalah juga inversi dari 4. Contoh: 7  –2 (mod 9)  9 habis membagi 7 – (–2) = 9 –11  –2 (mod 9)  9 habis membagi –11 – (–2) = –9 16  –2 (mod 9)  9 habis membagi 16 – (–2) = 18

Inversi Modulo Contoh: Solusi: Tentukan balikan dari 17 (mod 7) ! Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 17 = 27 + 3 (1) 7 = 23 + 1 (2) 3 = 31 + 0 (3) Susun (2) menjadi   1 = 7 – 23 (4) Susun (1) menjadi 3 = 17 – 27 (5) Masukkan (5) ke (4) 1 = 7 – 2(17 – 27) 1 = –217 + 57 Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 17 (mod 7)  Periksa –217  1 (mod 7)

Inversi Modulo Contoh: Solusi: Tentukan balikan dari 18 (mod 10) ! Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, maka inversi dari 17 (mod 7) tidak ada.

Kongruensi Linier Kongruensi linier berbentuk: ax  b (mod m), dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah variabel bilangan bulat.    Pemecahan: ax = b + km  x = (b + km) / a Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang memberikan hasil x bilangan bulat.

Kongruensi Linier Contoh: Solusi: Tentukan solusi untuk 4x  3 (mod 9) ! Solusi: 4x  3 (mod 9)  x = (3 + k9 ) / 4 k = 0  x = (3 + 09) / 4 = 3/4  bukan solusi k = 1  x = (3 + 19) / 4 = 3  solusi k = 2  x = (3 + 29) / 4 = 21/4  bukan solusi k = 3, k = 4  tidak memberi solusi k = 5  x = (3 + 59) / 4 = 12  solusi … k = –1  x = (3 – 19) / 4 = –6/4  bukan solusi k = –2  x = (3 – 29) / 4 = –15/4  bukan solusi k = –3  x = (3 – 39) / 4 = –6  solusi k = –7  x = (3 – 79) / 4 = –15  solusi Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

Kongruensi Linier Contoh: Solusi: Tentukan solusi untuk 2x  3 (mod 4) ! Solusi: 2x  3 (mod 4)  x = (3 + k4 ) / 2 Oleh karena k4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k4 akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil. Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu bilangan pecahan. Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi 2x  3 (mod 4).

Bilangan Prima Contoh: Contoh: Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh: 23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Contoh: 20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Aplikasi Teori Bilangan: ISBN ISBN (International Standard Book Number) Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0– 3015–4561–9. ISBN terdiri atas empat bagian kode: Kode yang mengidentifikasikan bahasa Kode yang mengidentifikasikan penerbit Kode unik untuk buku tersebut Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka atau huruf X)

Aplikasi Teori Bilangan: ISBN Karakter uji dipilih sedemikian hingga Contoh: ISBN 0–3015–4561–8 0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015 : kode penerbit 4561 : kode unik buku yang diterbitkan 8 : karakter uji. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:   10 + 23 + 30 + 41 + 55 + 64 + 75 + 86 + 91 = 151 Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8

Aplikasi Teori Bilangan: ISBN Contoh: ISBN 978-3-8322-4066-0 Mulai Januari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit Cara perhitungan menjadi berbeda dan dipergunakan modulo 10 Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:   91 + 73 + 81 + 33 + 81 + 33 + 21 + 23 + 41 + 03 + 61 + 63 = 100 Jadi, karakter ujinya adalah 100 + x13  0 (mod 10) x13 = 0

Pekerjaan Rumah (PR6) No.1: No.2: Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88. No.2: Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari ISBN tersebut.