Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 4 2. HIMPUNAN Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR 3) Diberikan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } sebagai sebuah himpunan semesta dan diberikan pula: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6, 7 }, C = { 5, 6, 7, 8, 9 }, D = { 1, 3, 5, 7, 9 }, E = { 2, 4, 6, 8 }, F = { 1, 5, 9 }. Tentukanlah: a) A  C b) A  B c) A  F d) (C  D)  E e) (F – C) – A

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 3) B = { 4, 5, 6, 7 }, C = { 5, 6, 7, 8, 9 }, D = { 1, 3, 5, 7, 9 }, E = { 2, 4, 6, 8 }, F = { 1, 5, 9 }. a) A  C b) A  B c) A  F d) (C  D)  E e) (F – C) – A = { 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } = U = { 4, 5 } = { 6, 7, 8, 9 }  { 1, 5, 9 } = { 9 } = { 1, 3, 6, 8 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1 } – { 1, 2, 3, 4, 5 } = 

Prinsip Dualitas Prinsip Dualitas dikatakan berlaku pada saat dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Prinsip Dualitas Contoh: Di Amerika Serikat kemudi mobil terletak di depan kiri. Di Inggris kemudi mobil terletak di depan kanan. Peraturan: Di Amerika Serikat: Mobil harus berjalan di bagian kanan jalan. Lajur kiri digunakan untuk mendahului. Pada lampu lalu lintas, belok kanan jalan terus. Di Inggris: Mobil harus berjalan di bagian kiri jalan. Lajur kanan digunakan untuk mendahului. Pada lampu lalu lintas, belok kiri jalan terus. Dalam hal ini berlalu Prinsip Dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris, dan demikian juga sebaliknya.

Prinsip Dualitas pada Himpunan Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan selisih simetris. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti         U U   sementara komplemen dibiarkan tetap seperti semula, maka kesamaan S* juga akan benar dan disebut dual dari S.

Dualitas Hukum-Hukum Aljabar Himpunan         U U   Komplemen tetap Dual Dual Dual Dual

Dualitas Hukum-Hukum Aljabar Himpunan         U U   Komplemen tetap Dual Dual Dual Dual Dual

Prinsip Dualitas pada Himpunan Contoh: Dual dari (A  B)  (A  B) = A adalah: (A  B)  (A  B) = A

Prinsip Inklusi - Eksklusi Untuk sembarang dua himpunan A dan B berlaku: A  B = A + B – A  B A  B = A + B – 2A  B A  B A  B

Prinsip Inklusi - Eksklusi Contoh: Pada suatu angket yang diikuti 40 pelajar diketahui bahwa 32 orang lebih menyukai Internet Explorer, 18 orang lebih menyukai Mozilla Firefox, dan 2 orang tidak menyukai keduanya. Tentukanlah: a) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox. b) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya. Solusi: Misalkan U = { Jumlah keseluruhan pelajar yang mengikuti angket } A = { Jumlah pelajar yang lebih menyukai Internet Explorer } B = { Jumlah pelajar yang lebih menyukai Mozilla Firefox } Maka U= 40, A= 32, B= 18, A  B= 2

Prinsip Inklusi - Eksklusi a) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox. A  B = U – A  B = 40 – 2 = 38 b) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya. A  B = A + B – A  B = 32 + 18 – 38 = 12 A  B = A + B – 2A  B= 32 + 18 – 212 = 26 AB AB

Prinsip Inklusi - Eksklusi Untuk sembarang tiga himpunan A, B, dan C berlaku: A  B  C = A + B + C – A  B – A  C – B  C + A  B  C

Prinsip Inklusi - Eksklusi Contoh: Di antara bilangan bulat antara 101 dan 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 atau yang habis dibagi oleh keduanya? Solusi: Misalkan U = { Jumlah bilangan bulat antara 101 dan 600, termasuk 101 dan 600 } A = { Anggota U yang habis dibagi 4 } B = { Anggota U yang habis dibagi 5 } Maka U= 500 A= 500/4 = 125 B= 500/5 = 100 A  B = 500/20 = 25 Ditanyakan: A  B? p  q  (p  q)  ~(p  q) ~(p  q)  (~p  ~q)  (p  q)

Prinsip Inklusi - Eksklusi A= 500/4 = 125 B= 500/5 = 100 A  B = 500/20 = 25 A  B = A + B – 2A  B = 125 + 100 – 225 = 175 A  B = U – A  B = 500 – 175 = 325

Pembuktian pada Proposisi Himpunan Proposisi Himpunan adalah argumen yang mempergunakan notasi himpunan. Proposisi yang akan dibuktikan umumnya berbentuk kesamaan (identity). Contoh: Buktikan bahwa “A  (B  C) = (A  B)  (A  C).” Pembuktian pada proposisi himpunan dapat dilakukan dengan 2 cara: 1. Menggunakan tabel keanggotaan. 2. Menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan.

Pembuktian Menggunakan Tabel Keanggotaan Contoh: Buktikan bahwa “A  (B  C) = (A  B)  (A  C).” 1 : Bukan himpunan kosong (T) 0 : Himpunan kosong (F) Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Pembuktian Menggunakan Hukum-Hukum Aljabar Himpunan Contoh: Buktikan bahwa “(A  B)  (A  B) = A.” Solusi: (A  B)  (A  B) = A  (B  B) Hk. Distributif = A  U Hk. Komplemen  = A Hk. Identitas Contoh: Buktikan bahwa “A  (B – A) = (A  B).” Solusi: A  (B – A) = A  (B  A) Def. Operasi Selisih = (A  B)  (A  A) Hk. Distributif = (A  B)  U Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas

Pekerjaan Rumah (PR 4) Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a) A  (A  B) = A  B b) A  (A  B) = A  B

Pekerjaan Rumah (PR 4) New Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a) A  (B  C) = (C  B)  A b) (B – A)  (C – A) = (B  C) –A