3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR 4) Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a) A  (A  B) = A  B b) A  (A  B) = A  B

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4) a) A  (A  B) = (A  A)  (A  B) Hk. Distributif = U  (A  B) Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas b) A  (A  B) = (A  A)  (A  B) Hk. Distributif =   (A  B) Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas

Matriks Matriks adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk baris dan kolom. Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m dan jumlah kolom n, (m,n). Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran nn. Contoh matriks, yang berukuran 34, adalah:

Matriks Matriks simetri adalah matriks dengan aij = aji untuk setiap i dan j. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian (improper subset) dari A  B. Notasi: R  (A  B) a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R menghubungkan a dengan b. a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R tidak menghubungkan a dengan b. Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R. Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.

Relasi Contoh: Misalkan A = { Amir, Budi, Cora } B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } AB = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3), (Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3), (Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) } Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu: R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3), (Cora,SP) } Dapat dilihat bahwa: R  (A  B) A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R (Amir,DM)  R atau Amir R DM (Amir,DSA)  R atau Amir R DSA

Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 } Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.

Relasi Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A. Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A. Contoh: Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x adalah faktor prima dari y, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }.

Representasi Relasi 1. Representasi dengan Diagram Panah

Representasi Relasi 2. Representasi dengan Tabel

Representasi Relasi 3. Representasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = { a1,a2, …,am } dan B = { b1,b2, …,bn }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij] dimana:

Representasi Relasi a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cora, dan b1 = DM, b2 = DSA, b3 = SP, dan b4 = E3 p1 = 2, p2 = 3, p3 = 4, dan q1 = 2, q2 = 4, q3 = 8, q4 = 9, q5 = 15 a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 9

Representasi Relasi 4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul (vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a,b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang (loop).

Representasi Relasi Contoh: Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) } adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d }, maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Relasi Biner Relasi-relasi pada satu himpunan disebut juga relasi biner. Relasi biner memiliki sifat-sifat: Refleksif (reflexive) Menghantar (transitive) Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric)

Relasi Biner 1. Refleksif (Reflexive) Contoh: Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)  R untuk setiap a  A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a,a)  R. Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) Relasi R = { (1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) } bersifat refleksif karena terdapat anggota relasi yang berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4). (b) Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) } tidak refleksif karena (3,3)  R.

Relasi Biner Contoh: Contoh: Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri  (a,a)  R untuk setiap a  A  relasi bersifat refleksif Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? S tidak refleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S, ada (a,a)  S untuk a  N, seperti (1,1), (3,3). T tidak refleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a)  T yang memenuhi relasi tersebut.

Relasi Biner Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n. Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.

Relasi Biner 2. Menghantar (Transitive) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b)  R dan (b,c)  R, maka (a,c)  R untuk semua a, b, c  A.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) } bersifat menghantar. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2)  R, tetapi (2,2)  R, juga (4,2) dan (2,3)  R, tetapi (4,3)  R. (c) R = { (1,2), (3,4) } bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk aturan { (a,b)  R dan (b,c)  R }  (a,c)  R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = { (4,5) } selalu menghantar.

Relasi Biner Contoh: Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar atau tidak? Bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c, maka pasti a habis membagi c. { a R b  b R c }  a R c Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak? S tidak menghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak menghantar karena (3,7)  R.

Relasi Biner 3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris (Antisymmetric) Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b)  R, maka (b,a)  R untuk semua a,b  A. Relasi R pada himpunan A tidak simetris jika (a,b)  R sedemikian sehingga (b,a)  R. Relasi R pada himpunan A sedemi- kian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R hanya jika a = b untuk a,b  A disebut anti simetris. Relasi R pada himpunan A tidak anti simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R. Relasi Simetris Relasi Anti Simetris

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) } bersifat simetris, karena jika (a,b)  R maka juga (b,a)  R. Disini, (1,2) dan (2,1)  R, begitu juga (2,4) dan (4,2)  R. bersifat tidak anti simetris, karena misalnya (1,2)  R dan (2,1)  R padahal 1  2. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } bersifat tidak simetris, karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R. karena terdapat (2,4)  R dan (4,2)  R padahal 2  4.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (c) R = { (1,1),(2,2),(3,3) } bersifat simetris dan anti simetris, karena (1,1)  R dan 1 = 1, (2,2)  R dan 2 = 2, dan (3,3)  R dan 3 = 3. (d) R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) } bersifat tidak simetris, karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R. bersifat anti simetris, karena (1,1)  R dan 1 = 1 dan, (2,2)  R dan 2 = 2.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (e) R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) } bersifat simetris. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada R padahal 2  4. (f) R = { (1,2),(2,3),(1,3) } bersifat tidak simetris. bersifat anti simetris, karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R.

Relasi Biner Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak simetris dan tidak anti simetris. R tidak simetris, karena (4,2)  R tetapi (2,4)  R. R tidak anti simetris, karena (2,3)  R dan (3,2)  R tetapi 2  3.

Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris? Anti simetris? Bersifat tidak simetris, karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4)  R tetapi (4,2)  R. Bersifat anti simetris, karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3, maka (3,3)  R dan 3 = 3.

Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris? S bersifat simetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S. S bersifat tidak anti simetris, karena walaupun terdapat (2,2)  R, terdapat pula { (3,1),(1,3) }  R padahal 3  1. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak simetris. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  anti simetris.

Inversi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh: R–1 = { (b,a) | (a,b)  R }.

Inversi Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }. R–1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan: (q,p)  R–1 jika q adalah kelipatan dari p. Maka akan diperoleh: R–1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }.

Inversi Relasi Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R, maka matriks yang merepresentasikan R–1, misalkan N, adalah transpose dari matriks M. N = MT berarti bahwa baris-baris dari M menjadi kolom-kolom dari N

Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: No.2: Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.