Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Probabilitas Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi distribusi diskrit. Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi binomial, distribusi geometrik dan distribusi Poisson

Distribusi Uniform Diskrit Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul. Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilai-nilai 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑘 mempunyai probabilitas yang sama, maka variabel random X disebut mempunyai distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑘 , jika fungsi probabilitasnya berbentuk : 𝒇 𝒙;𝒌 = 𝟏 𝒌

Distribusi Uniform Contoh: pada pemilihan warna kemasan permen, semua titik sampel dalam S = {merah,kuning,hijau,biru,ungu,orange} mempunyai probabilitas yang sama untuk muncul, yaitu sebesar 1 6 . Jadi 𝑓 𝑥;6 = 1 6 untuk x = merah, kuning, hijau, biru, ungu,orange. Untuk variabel random X yang mempunyai distribusi uniform diskrit, maka 𝝁= 𝟏 𝟐 𝒌+𝟏 𝝈 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝟐 +𝟏

Distribusi Binomial Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan, kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan menjadi ‘sukses’ atau ‘gagal’, dengan probabilitas sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi binomial. Suatu variabel random diskrit X dikatakan berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, dinotasikan dengan 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑛,𝑝 ,maka fungsi probabilitasnya berbentuk : 𝒃 𝒙;𝒏,𝒑 = 𝒏 𝒙 𝒑 𝒙 𝟏−𝒑 𝒏−𝒙 , untuk x = 0,1,2,…,n x = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p = probabilitas sukses

Distribusi Binomial Contoh : tersedia 3 mesin pengemas yang dijalankan bersamaan. Berapa probabilitas bahwa dalam 5 kali keluaran mesin, terdapat 2 kemasan yang rusak pada mesin pertama? Jawab : x = 2, n = 5 , p = 1 3 , maka b(2;5, 1 3 ) = 5 2 1 3 2 2 3 1 =… Jika variabel random diskrit X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p maka 𝝁=𝒏𝒑 𝝈 𝟐 =𝒏𝒑 𝟏−𝒑

Distribusi Geometrik Contoh kasus : dalam transmisi gelombang, probabilitas gelombang yang ditransmisikan diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen (saling bebas), dan misalkan X menotasikan jumlah gelombang yang ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror yang pertama. Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4 gelombang pertama yang ditransmisikan tidak mengalami eror dan gelombang ke-5 baru mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan {OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang diterima tidak mengalami eror).

Distribusi Geometrik Karena setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen, maka P(X=5) = P({OOOOE}) = 0,9 4 0,1 1 =0,066 Variabel random X yang menyatakan banyaknya percobaan sampai terjadinya sukses yang pertama kali dikatakan berdistribusi geometrik dengan parameter p, dinotasikan dengan 𝑋~𝐺𝑒𝑜 𝑝 , fungsi probabilitas berbentuk 𝒇 𝒙 = 𝟏−𝒑 𝒙−𝟏 𝒑 untuk x = 1,2,3,…

Distribusi Geometrik Jika X berdistribusi Geometrik dengan parameter p, maka 𝝁= 𝟏 𝒑 𝝈 𝟐 = 𝟏−𝒑 𝒑 𝟐

𝑝 𝑥;λ = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! ; untuk x = 0, 1, 2, 3, … Distribusi Poisson Jika pada distribusi binomial parameter n cukup besar (secara teoritis n→∞), maka diperoleh distribusi Poisson dengan parameter λ=𝑛𝑝. Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ, dinotasikan 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 λ , jika fungsi probabilitasnya sbb: 𝑝 𝑥;λ = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! ; untuk x = 0, 1, 2, 3, …

Distribusi Poisson Contoh : jika probabilitas seseorang terkena penyakit demam adalah 0.005, berapa probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang? Jawab : diperoleh λ=3000𝑥0,005=15, sehingga p(18;15) = 15 18 𝑒 −15 18! =0.0706 Jika variabel random X mempunyai distribusi Poisson, dengan parameter λ, maka 𝝁=𝝀 𝝈 𝟐 =𝝀

Distribusi Probabilitas Kontinu Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu yaitu fungsi distribusi kontinu. Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini adalah distribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi Student’s t dan distribusi F.

Distribusi Uniform Kontinu Definisi : suatu variabel random kontinu X mempunyai distribusi uniform kontinu pada selang 𝑎,𝑏 , dinotasikan dengan 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑎,𝑏 , jika fungsi densitasnya berbentuk: 𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 0 ,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎<𝑥<𝑏 ,untuk x yang lain

Distribusi Uniform Kontinu Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinu pada interval 𝑎,𝑏 , maka : 𝝁= 𝟏 𝟐 𝒂+𝒃 𝝈 𝟐 = 𝟏 𝟏𝟐 𝒃−𝒂 𝟐

Distribusi Normal Fungsi distribusi dari variabel random kontinu yang paling luas penggunaannya adalah fungsi distribusi normal. Kurva normal berbentuk seperti lonceng (bell), sehingga kurvanya disebut bell curve. Kurva normal adalah simetris, dengan mean dan median berada di tengah-tengah.

Distribusi Normal Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam menggambarkan data yang muncul dalam kehidupan sehari-hari. Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa Statistika Industri I TIP FTP UB yang berdistribusi Normal, maka dikatakan bahwa sebagian besar nilai mahasiswa berada di sekitar rataan dan sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya sangat bagus dan sangat sedikit pula yang nilainya sangat jelek. Contoh dalam industri pertanian??

𝒇 𝒙 = 𝟏 𝝈 𝟐𝝅 𝒆 − 𝟏 𝟐 𝒙−𝝁 𝝈 𝟐 untuk −∞<𝒙<∞ Distribusi Normal Definisi : variabel random kontinu dikatakan berdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 2 , dinotasikan dengan 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 , jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk : 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝝈 𝟐𝝅 𝒆 − 𝟏 𝟐 𝒙−𝝁 𝝈 𝟐 untuk −∞<𝒙<∞ Apabila 𝜇=0 dan 𝜎 2 = 1, maka diperoleh distribusi normal standar, dinotasikan dengan 𝑁 0,1 , sering disebut dengan distribusi Z, fungsi densitasnya sbb :𝑓 𝑧 = 1 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑧 2

Distribusi Normal Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X adalah 1 satuan. Yaitu ∞ −∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=1 𝑑𝑎𝑛 ∞ −∞ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧=1 Sifat kurva normal 𝑁 𝜇, 𝜎 2 : Asimtotik terhadap sumbu X. Simetris terhadap garis 𝑥=𝜇. Mempunyai titik koordinat maksimum 𝜇, 1 𝜎 2𝜋 Mempunyai dua titik belok yg berjarak 𝜎 dr sb simetri

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar Jika variabel random X berdistribusi normal biasa dengan fungsi densitas probabilitas 𝑓 𝑥 , maka 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b Namun bukan pekerjaan yang mudah mengingat bentuk fungsi densitas probabilitas dari variabel random X yg cukup rumit. Sehingga para ahli statistik menyediakan tabel yang menyatakan luas di bawah kurva normal standar, di atas sumbu Z dan dibatasi oleh Z = 0 dan Z = z

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar Dengan cara mentransformasikan nilai variabel X ke variabel Z dengan 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎 . Tabel kurva normal standar

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva normal baku: Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34 Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0 Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34 Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56 Di sebelah kanan Z = -0.57 Di sebelah kanan Z = 1.87

Contoh Kasus 1. Rataan nilai kinerja pegawai dari 2500 pegawai di Perusahaan Maju Terus adalah 85 dan mempunyai standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah data yang berasal dari populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak pegawai: Yang nilai kinerjanya lebih dari 90? Yang nilai kinerjanya antara 75 dan 90?

Contoh Kasus 2. Rataan skor masuk suatu perguruan tinggi negeri adalah 120.5 dengan standar deviasi 20. Sesuai dengan formasi yang ada, dari keseluruhan peserta tes hanya akan diambil 30% saja. Berapa skor terendah yang diterima di perguruan tinggi negeri tersebut jika distribusi skor dianggap normal?

Titik 𝑧 𝛼 Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji hipotesis, sering diperlukan nilai 𝑧 0 tertentu sehingga luas di sebelah kanan 𝑍=𝑧 0 dan di bawah kurva normal standar sama dengan 𝛼. Titik 𝑧 0 yang seperti ini dinamakan 𝑧 𝛼 . Jadi diperoleh, 𝑃 𝑍> 𝑧 𝛼 = 𝑧 𝛼 ∞ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧=𝛼 𝑃 𝑍> 𝑧 1−𝛼 = 𝑧 1−𝛼 ∞ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧=1−𝛼 dimana 𝑧 1−𝛼 = −𝑧 𝛼 𝑃 −𝑧 𝛼 <𝑍< 𝑧 𝛼 = −𝑧 𝛼 𝑧 𝛼 𝑓 𝑧 𝑑𝑧=1−2𝛼

Titik 𝑧 𝛼 Jika digambarkan: Dengan melihat tabel distribusi normal standar, akan diperoleh nilai-nilai: 𝑧 0.01 =2.33 𝑧 0.005 =2.58 𝑧 0.025 =1.96 𝑧 0.05 =1.96

Distribusi Chi-Square Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk: 𝑓 𝑥 = 1 𝜞 1 2 𝑣 2 1 2 𝑣 𝑥 1 2 𝑣−1 𝑒 − 𝑥 2 0, 𝑢𝑛𝑡𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 ,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥>0 dengan 𝑣 bilangan asli dan 𝜞 𝑘 = 0 ∞ 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑘 𝑑𝑥. Fungsi 𝜞 𝑘 disebut fungsi gamma

Distribusi Chi-Square Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 disajikan dengan 𝟀 2 𝑣 , dan jika 𝑋 berditribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 disajikan dengan 𝑋~ 𝟀 2 𝑣 . Grafik distribusi Chi-square Jika var. random X berdistribusi 𝟀 2 𝑣 , maka 𝜇=𝑣 𝜎 2 =2𝑣

Distribusi Chi-Square Untuk nilai 𝛼 dan 𝑣 tertentu, harga 𝜒 𝛼;𝑣 2 dapat dicari melalui tabel. Contoh 𝜒 0.025;6 2 =14.449

Distribusi Student’s 𝑡 Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk: 𝑓 𝑥 = 1 𝜋𝑣 𝜞 𝑣+1 2 𝜞 𝑣 2 1+ 𝑥 2 𝑣 − 𝑣+1 2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 −∞<𝑥<∞ dengan 𝑣=1,2,3,… Distribusi tersebut disajikan dengan 𝑡 𝑣 atau X~𝑡 𝑣 . Grafik distribusi student’s 𝑡

Distribusi Student’s 𝑡 Nilai-nilai 𝑡 yang bersesuaian dengan derajat kebebasan 𝑣 dan 𝛼 dapat dilihat pada tabel berikut: Misal 𝑡 0.10;15 =1.341, 𝑡 0.05;25 =1.708

Distribusi Student’s 𝑡 Jika variabel random kontinu X berdistribusi student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 maka: 𝜇=0 𝜎 2 = 𝑣 𝑣−2

Distribusi F Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣 1 dan 𝑣 2 jika fungsi densitasnya berbentuk: 𝑓 𝑥 = 𝜞 𝑣 1 + 𝑣 2 2 𝜞 𝑣 1 2 𝜞 𝑣 2 2 𝑣 1 𝑣 1 2 𝑣 2 𝑣 2 2 𝑥 𝑣 1 2 −1 𝑣 2 + 𝑣 2 𝑥 − 𝑣 1 + 𝑣 2 2 ,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥>0 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 Distribusi tersebut disajikan dengan 𝐹 𝑣 1 , 𝑣 2 atau X~𝐹 𝑣 1 , 𝑣 2 . Grafik distribusi F:

Distribusi F Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat nilai 𝛼=0.01 dan 𝛼=0.05 dan nilai-nilai 𝑣 1 dan 𝑣 2 tertentu. Contoh: 𝐹 0.05;4;9 =3.63 Jika variabel random kontinu X berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣 1 dan 𝑣 2 maka: 𝜇= 𝑣 2 𝑣 2 −2 , untuk 𝑣 2 >2 𝜎 2 = 2 𝑣 2 2 𝑣 1 + 𝑣 2 −2 𝑣 1 𝑣 2 −4 𝑣 2 −2 2 , untuk 𝑣 2 >4

Tabel F untuk 𝛼=0.01

Tabel F untuk 𝛼=0.05