MATRIKS BUDI DARMA SETIAWAN

Matriks Sekumpulan elemen berupa angka/ simbol yang tersusun dalam baris dan kolom p q r s t u v w x

Matriks p q r s t u v w x A i j jumlah baris jumlah kolom

A33 A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 p q r S t u v w x Matriks a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 p q r S t u v w x A33 A Ordo Matriks: 3 x 3

Matriks Berdasarkan ordonya

Ordo Matriks: n x n Matriks Persegi 15 4 8 3 12 7 9 10 11 1 16 6 15 4 8 3 12 7 9 10 11 1 16 6 14 5 2 13 1 3 2 6 9 5 8 4 7 1 3 4 7

Matriks Kolom Ordo Matriks: n x 1 1 6 8

Matriks Baris Ordo Matriks: 1 x n 1 6 8

Matriks Tegak Ordo Matriks: m x n Untuk m > n 8 1 6 5 2 7

Matriks Datar Ordo Matriks: m x n Untuk m < n 2 8 1 6 5 7

Berdasarkan elemennya Matriks Berdasarkan elemennya

Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 Matriks Diagonal Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 Kecuali unsur-unsur pada diagonal utama -1 0 0 0 4 0 0 0 7

Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 pada Matriks Segitiga Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 pada unsur-unsur di bawah/ di atas diagonal utama -1 5 4 9 0 2 3 -6 0 0 -7 1 0 0 0 8 7 0 0 0 -2 3 0 0 -4 -1 6 0 9 -5 1 8

bernilai sama pada diagonal utama Matriks Skalar Matriks Persegi Dengan semua elemen bernilai sama pada diagonal utama 6 0 0 0 6 0 0 0 6

Matriks Persegi dengan elemen Matriks Simetri Matriks Persegi dengan elemen amn = anm 3 5 -2 5 1 4 -2 4 -6 a32 = a23 a33 = a33 a22 = a22 a13 = a31 a12 = a21 a11 = a11

TRANSPOSE Matriks

Matriks Transpose matriks Aij AT = Aji 2 6 8 5 1 7 2 8 1 6 5 7

Matriks Setangkup ? 3 5 -2 5 1 4 -2 4 -6 A = AT

OPERASI Matriks

Penjumlahan & Pengurangan Matriks Ordo matriks harus sama a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 A= B= A+B : aij+bij A-B : aij-bij

int i,j,m=3,n=3,a[m][n],b[m][n],c[m][n]; main() { for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) cin>>a[i][j]; cin>>b[i][j]; c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; }

A’=kA= ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 Perkalian skalar dengan matriks ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 A’=kA=

Perkalian Matriks a11 a12 a21 a22 b11 a31 a32 b21 A32= B21= Aij dengan Bjk menghasilkan matriks Cik a11 a12 a21 a22 a31 a32 b11 b21 A32= B21= a11*b11 + a12*b21 a21*b11 + a22*b21 a31*b11 + a32*b21 C31=

LATIHAN -2 8 10 3 -1 4 6 -5 7 8 1 9 7 -3 5 11 4 -2 A = B = Tentukan: A+BT 2A*B Algoritma 2AT

OPERASI DASAR MATRIKS Hitunglah: Baris ke tiga dari AB 3B – A 2A + X = B. Hitung matriks X2x3 jika diketahui

KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS Hukum komutatif perkalian Bilangan real ab = ba Matriks Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 3 Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 2 AB = BA ?

KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (2) Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi- operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks akan berlaku: ……

KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (3) Hukum komutatif untuk menambahan A + B = B + A Hukum asosiatif untuk penambahan A + (B + C) = (A + B) + C Hukum asosiatif untuk perkalian A(BC) = (AB)C Hukum distributif A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA

KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (4) a(B + C) = aB + aC (a + b)C = aC + bC (ab)C = a(bC) a(BC) = (aB)C = B(aC) ≠ (aC)B

MATRIKS N0L Matriks 0 adalah matriks yang semua elemen-elemennya bernilai 0 Dalam ilmu hitung bilangan real terdapat hasil standar: jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c (hukum peniadaan) Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya salah satu antara a atau d bernilai 0

MATRIKS N0L A ≠ 0, tetapi B ≠ C AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0 Hitung : AB AC AD A ≠ 0, tetapi B ≠ C AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0

MATRIKS IDENTITAS AI = A ; IB = B Sehingga AI dan IB terdefinisi I  Matriks identitas I2  Matriks identitas berukuran 2 x 2

? INVERS MATRIKS Definisi: Matriks bujur sangkar A berukuran n x n mempunyai invers jika ada matriks B, sehingga AB = BA = In. Matriks B disebut matriks invers dari matriks A B = A-1 Tidak semua matriks memiliki invers ?

SOAL Jika ada, carilah invers matriks berikut:

INVERS MATRIKS 2 x 2 Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika ad-bc ≠ 0 dan matriks invers dari A adalah

PANGKAT MATRIKS A0 = I A1 = A A2 = AA A3 = AAA An+1 = AnA = AAn

SOAL Hitung inversnya menggunakan rumus Hitung A-2

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Melakukan operasi perkalian dan pertukaran pada baris-baris di dalam matriks Contoh: 1. Oij(I) = Eij  2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠0)  3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠0)  Baris 1 ditukar dengan baris 3 Baris 2 dikalikan -2 Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3

MATRIKS ELEMENTER Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris elementers sebanyak 1 kali)

CONTOH MATRIKS ELEMENTER

SIFAT MATRIKS ELEMENTER Eij . Eij = I Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya, ternyata nilainya sama dengan matriks elementer yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan dengan matriks A Oij(A) = Eij . A Oi(λ)(A) = Ei(λ≠0) . A Oij(λ)(A) = Eij(λ≠0) . A

CONTOH O12(A) = E12 . A

MENCARI A-1 Cara I : menggunakan OBE (A | I)  OBE  (I | A-1) Menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

MENCARI A-1 Menambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Mengalikan baris ketiga dengan -1 Menambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Menambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama

MENCARI A-1

SOAL Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan OBE:

TERIMA KASIH