Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial Fungsi rasional diekspresikan sbb Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.
Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:
Contoh
Faktor-faktor Linier Jika Q(x) adalah (ax +b)n ( kelipatan n dari faktor ax +b), maka dekomposisinya Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan kelipatan n = 1,
Contoh
Faktor Kuadratik Jika Q(x) adalah (ax2 + bx + c)n (kelipatan n dari faktor kuadratik ax2 + bx + c), dimana ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan i.e. b2 –4ac <0, maka, dekomposisi R(x)
Jika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan n=1, maka dekomposisi Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier dan kuadratik, gunakan dekomposisi yang sesuai untuk masing-masing faktor.
Contoh
INTEGRAL TAK-WAJAR Beberapa aplikasi calculus melibatkan integral dimana 1. Interval integrasi tidak terbatas: [a,+), (- , a], atau (- , + ) 2. Integran adalah fungsi diskontinu tak-hingga di suatu titik c di dalam selang [a, b]: limxc f(x) = Contoh: 1. 2.
Limit tak-hingga dari integral Definisi: Jika limitnya ada, dikatakan integral tak-wajar (kiri) tsb. convergen; Jika limitnya tidak ada, dikatakan integral tak-wajar tsb. Divergen.
Hal yang sama berlaku untuk Contoh: 1. 2.
Integran tak-hingga Definisi: Jika limitnya ada: konvergen sebaliknya: divergen
Hal yang sama: Jika f kontinu disetiap titik pada [a,b] kecuali di titik c(a,b) dan salah satu atau kedua2 limit sepihak f di c adalah tak-hingga maka
Contoh Selidiki integral tak-wajar berikut