BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-13 : Kongruensi Linear TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat menyelesaikan kongruensi linear satu atau lebih variabel. MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear POKOK BAHASAN Persamaan linear satu variabel yang paling sederhana : ax = b TUJUAN Kongruensi linear satu variabel yang paling sederhana : ax ≡ b (mod n) MATERI Solusi dari kongruensi linear adalah bilangan bulat xo yang memenuhi ax0 ≡ b (mod n) ILLUSTRASI Apakah setiap kongruensi linear memiliki solusi ? LATIHAN Carilah solusi dari kongruensi linear : 3x ≡ 5 (mod 9) dan 5x ≡ 3 (mod 9) SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear 3 POKOK BAHASAN Syarat agar kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki solusi adalah fpb(a, n) | b TUJUAN Perhatikan kongruensi linear : 3x ≡ 9 (mod 12) Bilangan bulat x = 3 dan x = -9 memenuhi kongruensi linear itu. Apakah kedua bilangan itu menyatakan dua solusi yang berbeda ? MATERI ILLUSTRASI Metode menyelesaikan kongruensi linear LATIHAN A. Metode Kenselisasi SELESAI Contoh 1: Carilah solusi dari kongruensi linear : 9x ≡ 12 (mod 15)

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN 3 Kongruensi Linear POKOK BAHASAN Pembahasan 9x ≡ 12 (mod 15) TUJUAN 3.3x ≡ 3.4 (mod 15) 3x ≡ 4 (mod 5) MATERI 3x ≡ 9 (mod 5) x ≡ 3 (mod 5) ILLUSTRASI Di dalam modulo 15, solusi yang tidak saling kongruen dari x ≡ 3 (mod 5) adalah 3, 8, dan 13 LATIHAN Jadi, solusi dari kongruensi linear 9x ≡ 12 (mod 15) adalah x ≡ 3 (mod 15) , x ≡ 8 (mod 15) dan x ≡ 13 (mod 15) SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear 3 POKOK BAHASAN B. Metode Invers Kita mengetahui bahwa invers (perkalian) dari bilangan a adalah bilangan b sehingga ab = 1 TUJUAN Definisi: Di dalam kongruensi, invers dari bilangan a modulo n dengan fpb(a, n) = 1 adalah solusi dari kongruensi ax ≡ 1 (mod n) MATERI Contoh : Carilah semua invers dari bilangan 7 modulo 31. ILLUSTRASI Jawab: Perhatikan kongruensi 7x ≡ 1 (mod 31) LATIHAN  7x ≡ 63 (mod 31)  x ≡ 9 (mod 31) SELESAI Jadi, invers dari 7 modulo 31 adalah {. . . , -53, -22, 9, 40, 71, . . .}

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear 3 POKOK BAHASAN B. Metode Invers Contoh 2 : Carilah solusi dari kongruensi linear 7x ≡ 22 (mod 31) TUJUAN Jawab: MATERI Kalikan kedua ruas dengan invers dari 7 modulo 31, yaitu 9 ILLUSTRASI 9 . 7x ≡ 9 . 22 (mod 31)  x ≡ 198 (mod 31) LATIHAN  x ≡ 12 (mod 31) SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear POKOK BAHASAN Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear 2x – 5y ≡ 4 (mod 6) Pembahasan: Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel TUJUAN 2x ≡ 5y + 4 (mod 6) MATERI Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6) ILLUSTRASI Solusinya adalah (x, y)  (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6). (ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi. LATIHAN (iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6) Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6). SELESAI (iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6) Solusinya adalah (x, y)  (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear POKOK BAHASAN Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear 2x – 5y ≡ 4 (mod 6) Pembahasan: Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel TUJUAN 2x ≡ 5y + 4 (mod 6) MATERI Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6) ILLUSTRASI Solusinya adalah (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6). (ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi. LATIHAN (iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6) Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6). SELESAI (iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6) Solusinya adalah (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) POKOK BAHASAN Carilah semua solusi yang tidak saling kongruen dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode kanselisasi a. 9x ≡ 21 (mod 30) c. 12x ≡ 16 (mod 32) b. 34x ≡ 60 (mod 98) d. 140x ≡ 133 (mod 301) 2. Carilah invers modulo 13 dari masing-masing bilangan bulat di bawah ini a. 2 b. 3 c. 5 d. 11 3. Carilah solusi dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode invers a. 25x ≡ 15 (mod 29) c. 17x ≡ 14 (mod 21) b. 5x ≡ 2 (mod 26) d. 9x ≡ 5 (mod 25) Misalkan p adalah invers dari a modulo n, dan q adalah invers dari b modulo n. Tunjukkan bahwa pq adalah invers dari ab modulo n. 5. Carilah semua solusi dari kongruensi linear dalam dua variable di bawah ini a. 2x + 3y ≡ 4 (mod 7) b. 4x + 2y ≡ 6 (mod 8) c. 3x + 6y ≡ 2 (mod 9) d. 8x + 2y ≡ 4 (mod 10) TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI