Program linier bentuk standar Pengantar metode simpleks

Program Linier Bentuk Standar (1) Program linier dapat memiliki Fungsi tujuan: Maksimal atau minimum Fungsi kendala dengan bentuk pertidak samaan: =, ≤, atau ≥ Dan variable dapat memiliki batas atas maupun batas bawah Program linier bentuk standar: Fungsi tujuan: maksimum Fungsi kendala: ≤ Semua konstanta RHS positif Semua variable dibatasi pada nilai non-negative

Program Linier Bentuk Standar (2) Bentuk aljabar untuk sebuah program linier yang memiliki m buah fungsi kendala dan n buah variable, dapat dituliskan seperti berikut ini: Fungsi tujuan: m fungsi kendala: n buah non-negatif, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0.

Metode-metode Grafis; Simpleks; Interior-point Jumlah variable yang sedikit Simpleks; Jumlah variable: small - large Interior-point Jumlah variable: extra large Pembahasan difokuskan pada mekanisme metode simpleks: Terminologi-terminologi Mekanisme dasar metode simpleks

Definisi Solution: semua titik yang berada di bidang variable, dapat merupakan titik yang feasible atau infeasible (paling tidak memenuhi satu fungsi kendala). Corner point solution: terjadi jika dua atau lebih fungsi kendala saling berpotongan. Titik yang dihasilkan disebut sebagai corner point, bisa di dalam atau di luar feasible region. Feasible corner point: corner point yang berada di dalam feasible region. Adjacent corner point: dua buah corner point yang dihubungkan oleh bagian garis dari sebuah fungsi kendala.

Sifat-sifat penting Program linier Titik optimum selalu ada di feasible corner point hal ini merupakan hasil dari semua fungsi kendala dan fungsi tujuan bersifat linier Jika sebuah feasible corner point memiliki nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari semua adjacent corner point, maka tiitk tersebut dikatakan sebagai titik optimum. Feasible corner point ada dalam jumlah yang terbatas.

Tahap-tahap metode simpleks (1) Fase pertama (start-up): tentukan sembarang feasible corner point. Untuk program linier bentuk standar, titik origin (0,0) selalu berada dalam feasible region. Jadi, titik (0,0) adalah titik dimana iterasi metode simpleks akan dimulai. Untuk program linier bentuk umum, penentuan titik dimana metode simpleks akan mulai sedikit lebih rumit. Fase kedua (iterasi): secara berulang berpindah ke feasible corner point yang berdekatan sampai tidak ada nilai fungsi tujuan yang lebih baik pada feasibel corner point. Catatan: dimungkinkan terjadi keadaan same optimum value

Tahap-tahap metode simpleks (2) Titik (0,0) merupakan titik awal, dengan nilai Z = 0 Iteasi I, berpindah ke titik (2,0) dengan nilai Z = 30 Iterasi II, berpindah ke titik (2,2), dengan nilai Z = 50 Stop, dua buah feasible corner point yang tidak dikunjungi adalah (1,3) dan (0,3)

Penentuan Corner Point Secara Aljabar Dalam penerapannya, program linier dapat memiliki variable ratusan, ribuan bahkan lebih. Program linier dengan skala besar, corner point ditentukan secara aljabar. Untuk program linier bentuk standar, dilakukan dengan cara mengkonversi bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan Kemudian, dengan metode eliminasi gauss dapat ditentukan titik-titik perpotongan antara dua atau lebih fungsi kendala.

Konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan (1) Konversi dilakukan dengan cara menambahkan sebuah variable, disebut sebagai slack variable. Nilai slack variable akan selalu berubah untuk menghasilkan persamaan yang benar. Contoh: Catatan: slack variable bernilai positif jika sebuah fungsi kendala dalam keadaan tidak aktif (masih berada di dalam feasible region)

Konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan (2) Hasil konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan dari suatu program linier: Pada awalnya, program linier tersebut hanya memiliki dua buah variable yaitu (x1 dan x2), setelah dikonversi variable berjumlah 5 bauh, yaitu (x1, x2, s1, s2, s3)

Terminologi aljabar Augmented solution: nilai dengan semua variable, baik variable original dan slack variable Basic solution: merupakan sebuah augmented corner point solution (bisa feasible atau infeasible) Basic feasible solution: merupakan sebuah augmented feasible corner point solution. Catatan: metode simpleks fokus pada basic feasible solution.

Setting nilai variable-variable (1) Dengan memperhatikan bentuk program linier yang telah dikonversi menjadi persamaan; Terdapat 5 variable dengan 3 buah persamaan fungsi kendala Hal ini berarti, dua buah variable ditentukan nilai secara acak, dan variable yang lain dihitung menggunakan 3 persamaan fungsi kendala tersebut. Jumlah variable yang nilainya dapat ditentukan secara acak disebut sebagai degree of freedom dari program linier tersebut, secara umum: df = (jumlah variable dalam bentuk persamaan) – (jumlah persamaan fungsi kendala)

Setting nilai variable-variable (2) Metode simpleks secara otomatis memberikan nilai pada variable-variable df dan menghitung nilai variable-variable yang lain. Metode simpleks akan memberi nilai nol pada variable- variable df tersebut.

Setting nilai variable-variable (3)

Terminologi metode simpleks Nonbasic variable: variable yang sedang diberi nilai nol oleh metode simpleks. Basic variable: variable yang tidak sedang diberi nilai nol oleh metode simpleks. Basis: variable yang selalu berada pada nonbasic variable atau basic variable selama proses metode simpleks. Nonbasic, variable bernilai NOL, fungsi kendala yang bersangkutan dalam keadaan aktif.

Iterasi perpindahan titik (1) Cara yang termudah untuk berpindah dari suatu titik basic feasible solution ke titik basic feasible solution yang lain adalah dengan mencara titik yang berdekatan. Sifat-sifat titik-titik basic feasible solution yang berdekatan: Himpunan nonbasic variable sama kecuali satu variable Himpunan basic variable sama kecuali satu variable Tiga kondisi yang harus dipenuhi dalam perpindahan ke titik basic feasible solution: Corner point harus berdekatan Corner point harus berada di dalam feasible region Corner point yang baru harus memiliki nilai fungsi tujuan yang lebih baik

Iterasi perpindahan titik (2) Penentuan entering basic variable: Menentukan nonbasic variable yang akan menjadi basic variable. Dilakukan dengan cara menentukan nonbasic variable manakah yang memberikan pengaruh yang paling besar terhadap perubahan fungsi tujuan. Penentuan leaving basic variable: Entering basic variable yang telah ditentukan akan bertambah nilainya sampai sebuah basic variable nilainya menjadi NOL. Basic variable yang nilainya menjadi NOL tersebut berubah menjadi nonbasic variable.

Minimum Ratio Test (MRT) Untuk menentukan leaving basic variable pada persamaan fungsi kendala tertentu: Dua kasus untuk nilai MRT: Jika koefisien entering basic variable NOL, berarti fungsi kendala tersebut tidak berpotongan dengan fungsi kendala yang masih aktif. Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, bearti fungsi kendala tersebut berpotongan dengan fungsi kendala yang aktif, tetapi arah kenaikan nilai entering basic variable semakin mejauh dari titik perpotongan tersebut.