PERTEMUAN 1 bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan bilqis

Contoh Soal  berapa nilai x, y dan Z x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 bilqis

Sistem Persamaan Linier   Sistem Persamaan Linier  bilqis

Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas: Persamaan linier : Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL (2) 2x + y = 9 PL (3) 2xy – z = 9 Bukan PL Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas: { … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space) bilqis

Misal : atau terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama bilqis

Sistem Persamaan Linier: Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier. Contoh: x + y = 3 3x – 5y = 1   Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) } bilqis

PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal : Diberikan SPL sebagai berikut : x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 = 9, x2 = -36, dan x3 = 30 Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal : x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 ≈ 55,55; x2 ≈ -277,778; dan x3 ≈ 255,556 bilqis

Interpretasi Geometrik: Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar. g1: x + y = 3 g2: 3x – 5y = 1   Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1) Kemungkinan: Var => sama Konst => tidak Kelipatan X+y = 5 X+y = 7 X+y = 5 2X+2y = 10 tidak berpotongan berpotongan di 1 titik berimpit bilqis

Solusi Sistem Persamaan Linier a. Cara Biasa → Seperti SMA b. Eliminasi Gauss c. Eliminasi Gauss - Jordan   a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3  3x + 3y = 9 3x – 5y = 1  3x – 5y = 1 8y = 8  y = 1 3x – 5 = 1  3x = 6  x = 2 II. y = 3 – x 3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1  8x = 16  x = 2 y = 3 – x  y = 1 bilqis

b. Eliminasi Gauss (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi Linier Augmented Gauss Balik OBE bilqis

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Eliminasi Gauss (lihat contoh 3, halaman 5) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1 3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0 lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9 0 1 ? ? 0 0 1 ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) ditulis dalam bentuk matriks augmented bilqis

Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar) Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0  Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0 bilqis

sebuah baris dengan kostanta 0 O.B.E sebuah baris dengan kostanta 0 sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain Menukar dua buah baris Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya. Dibawah 1 utama harus 0 bilqis

Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi) Contoh : Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain bilqis

* + = Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E : * + = * + = Substitusi Balik * + = * + = * + = Substitusi Balik [baris 1 -2] + baris 2 [baris 1 -3] + baris 3 baris 2 * 1/2 [baris 2 -3] + baris 3 baris 3 -2 z = 3 bilqis

x y z 1 1 2 9 Substitusi Balik: 0 2 -7 -17 0 2 -7 -17 0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3 1 1 2 9 0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17 0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2 1 1 2 9 x + y + 2z = 9 0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1 0 0 -½ -3/2 z y z bilqis

Bentuk eselon baris tereduksi: Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1) Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas Bentuk eselon baris tereduksi: 1, 2, 3, ditambah 4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan bilqis

Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k  0 Menukar posisi dua baris Menambah baris-i dengan k kali baris-j bilqis

c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung) OBE bilqis

Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) bilqis

Gauss-Jordan  MatLab bilqis

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E idem Gauss disambung dengan : * + = * + = baris 3 + baris 2 baris 3 -2 + baris 1 baris 2 -1 + baris 3 bilqis

Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu : 1. Mempunyai jawaban tunggal 2. Mempunyai banyak jawaban 3. Tidak mempunyai jawaban Contoh : Tentukan nilai a agar SPL berikut: Mempunyai jawaban tunggal Mempunyai banyak jawaban Tidak mempunyai jawaban x – 2y + 3z = 1 2x – 3y + 9z = 4 x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a bilqis

Matriks Eselon SPL di atas adalah : Penyelesaian : Matriks Eselon SPL di atas adalah : Mempunyai jawaban tunggal a2 – 4 ≠ 0  a ≠ -2 dan a ≠ 2 Mempunyai banyak jawaban a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0  a = -2 iii. Tidak mempunyai jawaban a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0  a = 2 bilqis

Lihat contoh di halaman 5 dan 6 Lihat contoh di halaman 11 dan 12 bilqis

Halaman 5 Example 3. In the left column below we solve a system of equations by operating on the equations in the system, and in the right column we solve the same system by operating on the rows of the augmented matrix. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y -5z = 0 Add -2 times the first equation to the second to obtain Add -2 times the first row to the second to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y -5z = 0 Add -3 times the first equation to the third to obtain Add -3 times the first row to the third to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y -11z = -27 bilqis

Multiply the second equation by ½ to obtain Multiply the second row by ½ to obtain Add -3 times the second equation to the third to obtain Add -3 times the second row to the third to obtain Multiply the third equation by -2 to obtain Multiply the third row by -2 to obtain bilqis

Add -1 times the second equation to the first to obtain Add -1 times the second row to the first to obtain Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain The solution : x = 1, y = 2, z = 3 bilqis

Halaman 11 Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1. Leftmost nonzero column The first and second rows in the preceding matrix were interchanged bilqis

a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 The first row of the preceding matrix was multiplied by ½ step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading 1 to zeros -2 times the first row of the preceding matrix was added to the third row step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form left most nonzero coloumn in the submatrix bilqis

The first row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1 -5 times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1 The top row in the submatrix was covered, and we returned again to the step 1 leftmost non zero coloumn in the new submatrix The first(and only) row in the submatrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1 The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step bilqis

7/2 times the third row of the preceding matrix was added Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s 7/2 times the third row of the preceding matrix was added to the second row -6 times the third row was added to the first row 5 times the second row was added to the first row The last matrix is in reduced row echelon form bilqis

Sistem Persamaan Linier Homogen : Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen: Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 ) Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya 2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 bilqis

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya 2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-1  (1/2) 1 1 -1/2 0 1/2 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-2 + brs-1 Brs-3 – brs-1 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 3/2 -3 3/2 0 0 0 -3/2 0 -3/2 0 0 0 1 1 1 0 bilqis

Brs-2  (2/3) Brs-3  (– 2/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 3/2 -3 3/2 0 0 0 -3/2 0 -3/2 0 0 0 1 1 1 0 Brs-2  (2/3) Brs-3  (– 2/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-3 – brs-2 Brs-4 – brs-2 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 bilqis

Brs-3  (1/2) Brs-4  (1/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 Brs-3  (1/2) Brs-4  (1/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 Brs-4 – brs-3 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 bilqis

1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 baris-1 + (1/2)  baris-2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 bilqis

Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 + x2 + x5 = 0 x3 + x5 = 0 x4 = 0 x5 = s  x3 + x5 = 0  x3 = – x5 x2 = t  x1 + x2 + x5 = 0  x1 = – x2 – x5 Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } Catt => yang diumpamakan dahulu adalah  index terbesar bilqis

Teorema: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. Ditinjau dari matriksnya: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. bilqis

Contoh menggunakan  Matlab Soal x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Buat matrix pada Matlab bilqis

Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1  Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2 bilqis

Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1  Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3 bilqis

Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2  Baris 2 = Baris 2 * 1/2 bilqis

PR Contoh pada slide 3, coba tukar antara baris pertama dengan baris 3, apakah hasilnya tetap sama ? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan) x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 3x + 6y – 5z = 0 2x + 4y – 3z = 1 x + y + 2z = 9 bilqis

PR Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan) x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0 x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0 bilqis

PR  kerjakan 2 saja 1.1  3.b, 4.c, 5.d, 11 1.2  6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17, 22 bilqis