PROBABILITAS BERSYARAT DAN EKSPEKTASI BERSYARAT

Sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep probabilitas bersyarat untuk subset-subset C dari ruang sampel C. Akan dijelaskan probabilitas bersyarat untuk subset-subset A dari ruang sampel A , dimana A adalah ruang nilai dari 1 variabel random atau lebih. Misalkan P adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada subset-subset dari A . Jika A1 dan A2 adalah subset-subset dari A , maka probabilitas bersyarat dari kejadian A2 diberikan kejadian A1 adalah :

Probabilitas Bersyarat Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf f(x1,x2) dimana f(x1,x2) > 0 untuk (x1,x2) A dan sama dengan nol untuk yang lainnya. Misalkan f1(x1) adalah pdf marginal dari X1 dan f2(x2) adalah pdf marginal dari X2 . Misalkan dimana x1’ adalah suatu nilai sedemikian hingga Misalkan himpunan Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat A2 diberikan A1 diperoleh : ma

Jadi , jika (x1,x2) adalah suatu titik dimana f1(x1) > 0, maka probabilitas bersyarat bahwa X2 diberikan X1 = x1 adalah . Dengan x1 tetap dan f1(x1) > 0, maka fungsi dari x2 ini memenuhi syarat-syarat untuk menjadi suatu pdf dari variabel random X2 jenis diskrit, karena : 1. 2.

Notasi : yang disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X2 tipe diskrit diberikan X1 = x1. Dengan cara yang sama, disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X1 tipe diskrit diberikan X2 = x2.

Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random kontinu yang mempunyai pdf bersama f(x1,x2) dan pdf marginal masing-masing f1(x1) dan f2(x2). Pembahasan pdf bersyarat untuk variabel random kontinu analaog dengan variabel random diskrit. Jika f1(x1) > 0, didefinisikan sebagai : Dalam hal ini x1 dianggap mempunyai nilai tertentu dimana f1(x1) > 0. mempunyai sifat-sifat pdf jenis kontinu dengan 1 variabel random dan disebut pdf bersyarat jenis kontinu dari variabel random X2 diberikan X1 = x1 karena

1. 2. karena dan Jadi, . Jika f2(x2) >0, pdf bersyarat dari variabel random kontinu X1 diberikan X2 = x2 didefinisikan sebagai

Karena dan masing-masing merupakan suatu pdf dari satu variabel random (diskrit /kontinu), maka masing-masing mempunyai semua sifat-sifat dari suatu pdf. Sehingga probabilitas dan ekspektasi matematikanya juga dapat dihitung. Untuk variabel random kontinu yang disebut sebagai probabilitas bersyarat diberikan X1 = x1 .

Probabilitas bersyarat bahwa diberikan X2=x2 adalah: Jika u(X2 ) adalah suatu fungsi dari X2, maka : disebut ekspektasi bersyarat dari u(X2 ) diberikan X1 = x1 .

Ekspektasi Khusus: 1. Adalah mean dari pdf bersyarat dari X2 diberikan X1 = x1 . 2. Adalah variansi dari pdf bersyarat dari X2 diberikan X1 = x1 dan dinotasikan dengan Jadi disebut mean bersyarat dari X2 diberikan X1 = x1 dan disebut variansi bersyarat dari X2 diberikan X1 = x1 .

Dapat ditunjukkan : Dengan cara yang sama, Untuk variabel random diskrit, caranya analog hanya mengganti integral dengan sigma.

Contoh : Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2, pdf bersyarat dari X1 diberikan X2=x2, mean bersyarat dan variansi bersyarat dari X1 diberikan X2 = x2, Pr(0<X1<1/2 |X2=3/4) dan Pr(0<X1<1/2).

Karena E(X2|x1) adalah fungsi dari x1 maka E(X2|X1) adalah variabel random yang mempunyai distribusi dan dapat dihitung mean dan variansinya. Contoh : Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf Dapat ditunjukkan bahwa Tentukan distribusi dari , kemudian hitung mean dan variansinya atau dan kemudian bandingkan hasilnya dengan E(X2) dan Var(X2).

Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random jenis kontinu Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random jenis kontinu. Misalkan Y = u(X1,X2), maka Y juga variabel random dan mempunyai pdf g(y). Ekspektasi dari Y adalah atau dapat ditulis Note : Berlaku juga untuk variabel random diskrit

Contoh: Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf Tentukan -

Adib : 1. 2.

Adib : Jadi

Adib: Misalkan

Perhatikan

Jadi

a. Karena maka b. Karena maka Jadi,