Distribusi Normal Simetris Mean, Median and Modus f(x) sama ‘Berbentuk lonceng’ Simetris Mean, Median and Modus sama Lokasi ditentukan oleh mean μ Penyebaran ditentukan oleh simpangan baku, σ Variable acak secara teoritis mempunyai rentang tidak terbatas: +  to   f(x) σ x μ Mean = Median = Mode Business Statistics: A Decision-Making Approach, 6e © 2005 Prentice-Hall, Inc.

Dengan mengubah parameter μ and σ, dapat diperoleh distirbusi normal yang berbeda

Bentuk Distributsi Normal Pengubahan μ menggeser distribusi ke kiri atau ke kanan. f(x) Pengubahan σ menaikkan atau menurunkan penyebaran. σ μ x

Mencari Probabilitas Normal Probability is the area under the curve! Probabilitas diukur menggunakan luas daerah di bawah kurva f(x) P ( a  x  b ) a b x

Probabilitas sebagai Luas Daerah di Bawah Kurva Total luas daerah di bawah kurva adalah 1.0 Kurva simetris sehingga setengahnya di atas mean (rata-rata) dan setengahnya di bawah mean f(x) 0.5 0.5 μ x

Aturan Empiris Aturan umum distribusi nilai di sekitar mean f(x) μ ± 1σ mencakup sekitar 68% dari x σ σ x μ-1σ μ μ+1σ 68.26%

μ ± 2σ mencakup sekitar 95% dari x 3σ 3σ 2σ 2σ μ x μ x 95.44% 99.72% Business Statistics: A Decision-Making Approach, 6e © 2005 Prentice-Hall, Inc.

Diastirbusi Normal Standar Juga disebut sebagai distirbusi “z” Mean = 0 Simpangan baku = 1 f(z) 1 z Nilai di atas mean mempunyai nilai z positif Nilai di bawah mean mempunyai nilai z negatif

Semua distribusi normal (dengan kombinasi mean dan simpangan baku apapun) dapat diubah ke dalam distribusi normal standar (z) x diubah ke dalam z

Pengubahan ke dalam Diatribusi Normal Standar Ubah dari x ke dalam normal standar (distirbusi “z”) dengan mengurangkan mean dari x and membaginya dengan simpangan baku:

Contoh: Jika x didistribusikan secara normal dengan mean 100 dan simpangan baku 50, maka nilai z value untuk x = 250 adalah x = 250 merupakan 3 simpangan baku (meningkat 3 kali 50 unit) di atas mean 100.

Membandingkan x and z 100 250 x 3.0 z μ = 100 σ = 50 3.0 z Distribusi tetap sama, tetapi skalanya berbeda. Permasalahan dapat dinyatakan dalam bentuk asli (x) atau dalam bentuk yang distandarkan (z)

Tabel Normal Standar Tabel Normal Standar memberikan probabilitas dari mean (0) hingga nilai z yang diinginkan .4772 Contoh: P(0 < z < 2.00) = .4772 z 2.00

Kolom menunjukkan nilai z hingga 2 desimal Baris menunjukkan nilai z hingga 1 desimal Nilai dalam tabel menunjukkan probabilitas dari z = 0 hingga nilai z yang diinginkan . 2.0 .4772 P(0 < z < 2.00) = .4772 2.0

Prosedur Umum untuk Memperoleh Probabilitas Untuk memperoleh P(a < x < b) jika x didistribusikan secara normal: Digambar kurva normal dalam bentuk x Ubah nilai x ke dalam nilai z Gunakan Tabel Normal Standar

Contoh Tabel Z Jika x normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Cari P(8 < x < 8.6) Hitung nilai z: 8 8.6 x 0.12 Z P(8 < x < 8.6) = P(0 < z < 0.12)

= 8  = 5 = 0  = 1 P(8 < x < 8.6) P(0 < z < 0.12) x z 8 0.12 P(8 < x < 8.6) P(0 < z < 0.12)

Penyelesaian: P(0 < z < 0.12) Tabel Probabilitas Normal Standar P(8 < x < 8.6) = P(0 < z < 0.12) .02 z .00 .01 .0478 0.0 .0000 .0040 .0080 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871 Z 0.3 .1179 .1217 .1255 0.00 0.12

Mencari Probabilitas Normal Jika x normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Cari P(x < 8.6) Z 8.0 8.6

P(x < 8.6) .0478 .5000 P(x < 8.6) = P(z < 0.12) = P(z < 0) + P(0 < z < 0.12) = .5 + .0478 = .5478 Z 0.00 0.12

Probabilitas pada Ekor Atas Jika x normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Cari P(x > 8.6) Z 8.0 8.6

P(x > 8.6)… P(x > 8.6) = P(z > 0.12) = P(z > 0) - P(0 < z < 0.12) = .5 - .0478 = .4522 .0478 .5000 .50 - .0478 = .4522 Z Z 0.12 0.12

Probabilitas Ekor Bawah Jika x normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Cari P(7.4 < x < 8) Z 8.0 7.4

P(7.4 < x < 8) Distirbusi Normal bersifat simetris sehingga tabel yang sama digunakan walaupun nilai z negatif: P(7.4 < x < 8) = P(-0.12 < z < 0) = .0478 .0478 Z 8.0 7.4

Mencari Nilai X untuk Probabilitas yang Diketahui Langkah: 1. Cari nilai Z untuk probabilitas yang diketahui 2. Ubah ke dalam bentuk X dengan rumus:

Jika X terdistribusi normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Contoh: Jika X terdistribusi normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0. Berapakah nilai X sehingga 20% dari data Anda berada di bawah nilai X tersebut? 0.2000 X ? 8.0 Z ?

Jawab: 1. Cari nilai Z untuk probabilitas yang diketahui 20% daerah di ekor bawah mempunyai nilai Z -0.84 .04 Z … .03 .05 0.7 … .2673 .2703 .2734 0.2000 0.8 … .2967 .2995 .3023 0.9 … .3238 .3264 .3289 X ? 8.0 Z -0.84

2. Ubah ke dalam bentuk X dengan rumus: Jadi, 20% dari data Anda yang terdistirbusi normal dengan mean 8.0 dan simpangan baku 5.0 berada di bawah 3.80

Distribusi Seragam Distribusi seragam merupakan sebuah distribusi probabilitas yang mempunyai probabilitas yang sama untuk seluruh hasil yang mungkin dari variabel acak

Distribusi seragam kontinyu: f(x) = f(x) = nilsi fungsi densitas (kepadatan) pada nilai x a = batas bawah interval b = batas atas interval

Nilai X yang diharapkan E(X) = (a + b)/2 Variansi X Var(X) = (b - a)2/12

Contoh: Pelanggan rata-rata membeli 2-6 kg beras per minggu Contoh: Pelanggan rata-rata membeli 2-6 kg beras per minggu. Buatlah probabilty density function (fungsi kepadatan / densitas probabilitas) untuk kuantitas beras yang dibeli pelanggan. Berapakah probabilitas bahwa beras yang dibeli antara 4-6 kg?

1 f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 6 6 - 2 f(x) .25 x 2 6

P(4 ≤ x ≤ 6 ) = (6-4) (0.25) = 0.5 f(x) .25 x 2 4 6

P(3 ≤ X ≤ 5) = (Dasar)(Tinggi) = (2)(0.25) = 0.5 Berapakah P(3 ≤ X ≤ 5): P(3 ≤ X ≤ 5) = (Dasar)(Tinggi) = (2)(0.25) = 0.5 f(X) 0.25 X 2 3 4 5 6

Distribusi Eksponensial Digunakan untuk mengukur waktu antara dua kejadian Contoh: Waktu antara kedatangan 2 truk di tempat pembongkaran muatan Waktu antara kedatangan bahan baku Waktu antara pemesanan produk dari pelanggan

Probability Density Function (pdf): x ≥ 0 dan μ>0. μ  mean atau nilai yang diharapkan.

Bentuk lain: μ =

Hanya mempunyai 1 parameter, yaitu mean (= λ) Probabilitas bahwa suatu kejadian kurang dari waktu tertentu X adalah: e = 2.71828 λ = jumlah kejadian per periode waktu = mean populasi X = nilai variabel kontinyu  0 < X < 1/ adalah rata-rata (mean) waktu antara kejadian

Jika banyaknya kejadian per periode waktu terdistribusi Poisson dengan mean , maka waktu antar kejadian terdistribusi eksponensial dengan rata-rata waktu 1/  Contoh: Jika rata-rata 10 pelanggan mengunjungi sebuah restoran dalam 2 jam, maka waktu rata-rata antar kedatangan pelanggan adalah: 120/10=12 minutes. Oleh karena itu, interval waktu antar kedatangan pelanggan terdistribusi eksponensial dengan mean=12 minutes.

Bentuk distribusi eksponensial f(x)  = 3.0 (mean = .333)  = 1.0 (mean = 1.0) = 0.5 (mean = 2.0) x

Contoh Pelanggan datang dengan laju 15 orang per jam (terdistribusi Poisson). Berapa probabilitas bahwa waktu kedatangan antar pelanggan secara berturutan kurang dari 5 menit? P(x < 5) = 1 - e-x = 1 – e-(.25)(5) = .7135

Daya ingat yang terbatas :D Distribusi eksponensial mempunyai sifat “Memorylessness” atau “Lack of memory”. Dalam bentuk matematika: Contoh: P(menunggu lebih dari 10 menit | menunggu lebih dari 3 menit) =P(menunggu lebih dari 7+3 menit | menunggu lebih dari 3 menit) =P(menunggu lebih dari 7 menit)

Mean dan Variansi Distirbusi Eksponensial E(X)= μ or Var(X)= μ2 or