Sistem Persamaan linier

Persamaan linier Definisi N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a2x2+…+ an xn=b disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta- konstanta riil. Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut himpunan penyelesaian (solusi set). Contoh 2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.

Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) Definisi Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn disebut sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten. Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)

Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka: X1 U2 X1 U2 X1 P2 P1 P2 P2 P1 Inconsisten Konsisten

Penyajian SPL dengan persamaan matriks a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2 : am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm SPL umum: matriks koefisien x1 x2 : xm b1 b2 : bm a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n : am1 am2 am3 amn A = x = b = Ax = b

Penyajian SPL sebagai matriks augmented a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2 : am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm a11 a12 a13 … a1n b1 a21 a22 a23 … a2n b2 : . am1 am2 am3 … amn bm matriks augmented

SUSUNAN PERSAMAAN LINIER HOMOGEN AX=0 NON HOMOGEN AX=B, B≠0 SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWAB R(a)≠r(A,B) MEMPUNYAI JAWAB JAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL (NOL);R=N SELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R<N JAWAB UNIK (TUNGGAL) R=N BANYAK JAWAB R<N Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.

Sistem Persamaan Linier Non Homogen Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0 Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A|B) Contoh ; 1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3 Jawab: -3x+6y=-9 x-2y=3 Dalam bentuk matriks= R(a)=r(A|B)=1 r<n Jumlah variabel=2 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal.

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen Di bawah ini : Jawab :

Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel Jadi jawabnya tunggal Matriks lengkap di atas menyatakan: Sehingga sebagai penyelesaiannya :

Sistem Persamaan Linier Homogen  Bentuk umum: Ax = 0, yaitu: a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0 a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0 am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau= Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini : Jawab : Sehingga solusinya : Yaitu solusi trivial atau

2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini : Jawab :

Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4 jadi solusinya tidak tunggal (banyak)

Dimana : x3 dan x4 bebas. Sehingga : Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b