DISTRIBUSI PROBABILITAS Pokok Bahasan ke-6

Variabel Random : adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S. Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

Contoh : S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”. Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Variabel random diskrit: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit.

Variabel random kontinu: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

Distribusi Probabilitas : Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) : Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x) -

Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) : Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) : Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata- rata) dari variabel random diskrit X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

Contoh: Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini, Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat. Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat. Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28 Hitung nilai rata-rata X.

Jawab (1): Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan : X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah = 0, 1, 2 Sehingga dapat dihitung : Rumus distribusi probabilitas adalah Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah x 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28

Jawab (2): Distribusi kumulatif F(x) adalah : F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 = 1 Sehingga : 1 , untuk x < 0 F(x) = 10/28 , untuk 0  x < 1 25/28 , untuk 1  x < 2 1 , untuk x  2

Jawab (3): Dengan menggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1) = 1 – 25/28 = 3/28 Nilai Ekspektasi X adalah E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28

Distribusi Probabilitas Kontinu X (1): Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

Distribusi Probabilitas Kontinu X (2): Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

Distribusi Probabilitas Kontinu X (3): Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata- rata) dari variabel random kontinu X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

Contoh: Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1  x  4 Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1. Hitunglah P(1,5 < x < 3) Hitunglah P( x < 2,5) Hitunglah P(x  3,0) Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5) Hitung nilai E(X)

Distribusi Binomial (Distribusi Probabilitas Diskrit) Percobaan Bernoulli : Sifat-sifat sebagai berikut : Percobaan itu terdiri dari n pengulangan Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi Binomial Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n

Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :

Contoh Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : Paling sedikit 10 orang yang selamat Dari 3 sampai 8 orang yang selamat Tepat 5 orang yang selamat Hitung rata-rata dan variansinya

Distribusi Poisson (Distribusi Probabilitas Diskrit) Percobaan Poisson : Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Distribusi Poisson Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

Rata-rata dan Variansi Distribusi Poisson Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah . Catatan : Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

Contoh Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

Contoh Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

Distribusi Normal (Distribusi Probabilitas Kontinu) Kurva Normal dan Variabel Random Normal Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.  x 

Sifat kurva normal, yaitu : Kurva mencapai maksimum pada Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : X1 x X2 

Distribusi Normal Standar (1) apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi maka : ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

Distribusi Normal Standar (2): Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

Contoh: Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat kurang dari 53 kg di antara 53 kg dan 57 kg Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglah Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10% terendah mendapat E. Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .

Soal 1 Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut, Carilah distribusi probabilitas X Carilah distribusi kumulatif F(x) Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1) dan P(0 < x  2) Hitung nilai E(X)

Soal 2 Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas : f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1  x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya  Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1 Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam. Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam. Hitung nilai harapan X.

Soal 3 Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: Nilai dari variabel random X Distribusi probabilitas variabel random X Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2) Hitung rata-rata dan variansinya

Soal 4 Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbetuk varaibel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat probabilitas untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0 untuk nilai x lainnya. Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat probabilitas. Hitung P( ½ < x < ¼) Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P( ½ < x < ¼)

Soal 5 Probabilitas menghasilkan produk cacat dari PT Idaman, sebuah perusahaan yang menghasilkan lemari es, adalah 0,2. Dalam rangka untuk mengendalikan kualitas lemari es, maka bagian pengendali kualitas bermaksud melakukan penelitian tentang probilitas kerusakan lemari es. Sebagai langkah awal diambillah sampel sebanyak 8 lemari es. Dari 8 lemari es tersebut berapakah probabilitas diperoleh : Dua lemari es rusak Tiga lemari es baik Paling banyak 7 lemari es baik Antara 3 sampai 5 lemari es rusak Paling sedikit 2 lemari es baik Paling banyak 2 lemari es rusak

Soal 6 Disket yang diproduksi oleh PT Akbar ternyata sangat berkualitas. Hal ini terbukti dari 100 buah disket ternyata hanya ada 2 disket yang tidak berfungsi. Apabila diambil 150 buah disket, maka probabilitas: Tiga diantaranya tidak berfungsi Maksimum 5 tidak berfungsi Antara 3 sampai 6 tidak berfungsi Minimum 145 berfungsi

Soal 7 Rata-rata banyaknya makanan kaleng yang ada di gudang telah kadaluarsa adalah 5. Diambil sampel random sebanyak 10 buah makanan kaleng di gudang, hitung probabilitas: Lima diantaranya kadaluarsa Maksimum 4 telah kadaluarsa Antara 5 sampai 8 telah kadaluarsa Minimum 186 masih bisa dimakan

Soal 8 Tes IQ 600 calon mahasiswa mempunyai mean 115 dan deviasi standarnya 12. Mahasiswa dikatakan lulus tes, bila mempunyai IQ paling rendah 95, berapakah mahasiswa yang dinyatakan tidak lulus ? Gaji pegawai suatu perusahaan rata-rata Rp.525,- per jam dengan deviasi standar Rp.60,-. Berapa persen karyawan yang bergaji Rp.575,- dan Rp.600,- per jam ? Di atas berapa rupiahkah 5% gaji per jam tertinggi ?