PERTEMUAN 2

1.3 PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan adalah pernyataan yang mengandung <, >, , atau  Pertidaksamaan terdiri dari pertidaksamaan linier dan non-linier 1.3.1 Sifat-sifat (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c (iii) Jika a > b, maka a – c > b – c (iv) Jika a > b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc (v) Jika a > b, dan c adalah bilangan negatif maka ac < bc

Analog dengan (i) s.d. (v), (vi) Jika a > b dan b > c, maka a > c (vii) Jika a > b, maka a + c > b + c (viii) Jika a > b, maka a – c > b – c (ix) Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc (x) Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Sifat-sifat lainnya (xi) ac > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 (xii) ac < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 a/c > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c <0 a/c < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c <0 (xv) Jika a > b, maka – a < – b Jika 1/a < 1/b, maka a > b Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit) Jika a>b>c, maka b , a atau b > c (bentuk komposit)

1.3.2 Selang (interval) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat-sifat relasi tertentu Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril, maka disebut selang hingga. Jika batas-batasnya bukan bilangan ril, maka disebut selang tak-hingga. Lambang  menyatakan membesar tanpa batas. Lambang – menyatakan mengecil tanpa batas. Berikut diberikan contoh-contoh selang

Notasi Definisi Grafik Keterangan

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b } Selang terbuka ( a ) b

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b } Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup ( a ) b [ a ] b

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b } Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup [a, b) {x|a  x < b } Selang setengah terbuka ( a ) b [ a ] b [ a ) b

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b } Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup [a, b) {x|a  x < b } Selang setengah terbuka (a, b] {x|a < x  b } ( a ) b [ a ] b [ a ) b ( a ] b

Notasi Definisi Grafik Keterangan

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka [ a

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka Selang tertutup [ a [ a

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka Selang tertutup (-, b) {x|x < b } [ a [ a ) b

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka Selang tertutup (-, b) {x|x < b } (-, b] {x|x  b } [ a [ a ) b ] b

Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka Selang tertutup (-, b) {x|x < b } (-, b] {x|x  b } (-, ) R [ a [ a ) b ] b

1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah Bentuk umum ax + b (?) 0 a dan b adalah bilangan ril (?) adalah salah satu dari <, >, , atau  Contoh 1.5 Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < –5 Penyelesaian 7x+9<–5  semua ruas dikurang sembilan  7x + 9 –9 < –5 –9 7x < –14  x < –2 Himpunan penyelesaian {x|x< –2} ) -2 Selang terbuka

Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas yang berbeda tandanya akan berubah!

Contoh 1.7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 2  8 + 5x Penyelesaian 3x – 2  8 + 5x  Pidahkan 5x ke ruas kiri dan -2 ke ruas kanan 3x – 5x  8 + 2  Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan kelompokkan konstan pada ruas kanan. – 2x  10 (– 1/2)(– 2x)  (10)(– 1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus dibalik (sifat pertidaksamaan xv) x  – 5 Himpunan penyelesaian {x|x  – 5} ] –5 Selang terbuka

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Contoh 1.8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 – 2x 5 4 < < 2x – 1 Penyelesaian 4 – 2x 5 4 < < 2x – 1  kalikan semua ruas dengan 5 4 – 2x 5 4(5) < (5) < (2x – 1)(5) 20 < 4 – 2x < 10x – 5  dipecah menjadi dua bagian, yaitu 4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x – 5 (sifat pertidaksamaan xvii) 4 – 2x > 20  2x – 4 < –20 2x < 4 – 20  x < –8 4 – 2x < 10x – 5  –2x –10x < –5 – 4 – 12x < –9  12x > 9  x > 3/4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x , -8 atau x > 3/4} ( 3/4 ) – 8 Selang terbuka

Latihan Selesaikan a) 5x + 6 3x – 9

1.3.4 Nilai Mutlak Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan |x| Definisi |x|= x jika x  0 –x jika x < 0 Teorema-teorema Jika a dan b adalah bilangan ril, maka (i) |x| < a  –a < x < a (ii) |x| > a  x > a atau x < –a (iii) |x|  a  –a  x  a (iv) |x|  a  x  a atau x  –a (v) |x| = a  x = a atau x = –a

(vi) |ab| = |a||b| Bukti |ab|=(ab)2 a2 b2 = a2 = b2 = |a||b| (terbukti) (vii) a b = , b  0. a b = 2 Bukti (terbukti) (terbukti)

|a – b||a|+|b| Bukti |a – b|=|a +(–b)| |a|+|b| (terbukti) |a|– |b| |a – b| Bukti |a|=|(a – b)+b||a – b|+|b| Jika setiap suku dikurang dengan |b|, maka |a| – |b| |a – b| (terbukti) Contoh 1.9 Selsaikan pertidaksamaan |x – 5|  4, gambarkan garis bilangan dan selangnya! Penyelesaian

|x – 5|  4  –4  x – 5  4 (teorema iii) Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5  – 4 dan x – 5  4 Selanjutnya selesaikan satu per satu pertidaksamaan tersebut! x – 5  – 4  x  – 4 + 5  x  1 x – 5  4  x  4 + 5  x  9 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|1  x  9} [ 1 ] 9 Selang tertutup

Contoh 1.10 Selesaikan pertidaksamaan |x – 7| > 3, gambarkan garis bilangan dan selangnya! Penyelesaian |x – 7| > 3  –3 > x – 7 > 3 (teorema iii) Dengan memperhatikan sifat pertidaksaman xviii, kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 7 < –3 dan x – 7 > 3 x – 7 < –3  x < –3 + 7  x < 4 x – 7 > 3  x > 3 + 7  x > 10 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x < 4 atau x > 10} ) 4 ( 10 Selang terbuka

Latihan Selesaikan pertidaksamaan berikut

1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah Bentuk umum ax + by + c (?) 0 a, b, dan c adalah bilangan-bilangan ril (?) adalah salah satu , , , atau  Algoritma Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan. Ingat! Garis yang digambar membagi bidang menjadi dua bagian. 2. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda  atau , berarti garis tersebut termasuk bidang yang akan digambarkan. 3. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda< atau >, berarti garis tersebut tidak termasuk bidang yang akan digambarkan. 4. Pilih salah satu titik koordinat pada salah satu bidang dan substitusikan pada pertidaksamaan. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, maka bidang tsb merupakan bidang yang dimaksud.

3x – 2y Contoh 1.11 Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y  8 Penyelesaian Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. 3x – 2y  8  3x – 2y = 8 3x – 2y = 8  –2y = –3x + 8  y = (–3/–2)x + 8/–2 y = 3/2 x – 4

  Langkah 2 Gambarkan grafik 0,0 y x y = 3/2 x – 4 x y –4 8/3 –4 8/3  (8/3, 0) (0, –4) 

0,0 y x y = 3/2 x – 4  (8/3, 0) (0, –4) 

   Langkah 3 Pilih titik koordinat (0,0) y y = 3/2 x – 4 x 0,0 (8/3, 0) (0, –4) 

   Langkah 4 Substitusi titik koordinat (0,0) ke dalam pertidaksamaan 0,0 y x 3x – 2y  8 3(0) – 2(0) 8  y = 3/2 x – 4 0 8    (8/3, 0) (0, –4) 

   Langkah 5 Warnai/Arsir bidang yang memenuhi y y = 3/2 x – 4 x 0,0 (8/3, 0) (0, –8) 

TIPS Bidang disebelah kanan garis merupakan daerah > Bidang disebelah kiri garis merupakan daerah <

TIPS y  x

TIPS y L e b i h k e c i l  x 0,0 L e b i h b e s a r

TIPS y L e b i h b e s a r  x 0,0 L e b i h k e c i l

1.3.6. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Sistem pertidaksamaan linier sistem yang terdiri dari lebih dari satu pertidaksamaan linier Contoh 1.13 Gambarkan grafik pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y  –3 Penyelesaian Langkah 1 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3

Langkah 2 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan 2y + 3x = 5 dan x – y = –3 Langkah 3 Gambarkan grafik persamaan 2y + 3x = 5 dan x – y = – 3 x y 5/2 5/3 x y 3 -3

2y + 3x = 5 x y 5/2 5/3 x – y = – 3 x y 3 -3 (0,0) (0,3) (0,(5/2)) 5/2 5/3 x – y = – 3 x y 3 -3 x (0,0) y (0,3)  (0,(5/2))  (-3,0) ((5/3),0)  

x – y = – 3 x y 3 -3 2y + 3x = 5 x y 5/2 5/3 (0,3) (0,(5/2)) (-3,0) 3 -3 2y + 3x = 5 x y 5/2 5/3 y  (0,3)  (0,(5/2)) (-3,0) ((5/3),0)   x (0,0)

Latihan 1. Gambarkan grafik dari sistem pertaksamaan linier berikut!

Latihan 2. Sebuah industri komp[uter akan memproduksi sekurang- kurangnya 1000 buah komputer yang terdiri dari dua jenios yaitu PC dan Laptop. Biaya produksi sebuah PC adalah Rp 2000.000,00, sedangkan biaya produksi Laptop adalah Rp 3.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut Rp 10 milyar rupiah, tentukan sistem pertaksamaan linier persoalan tersebut dan gambarkan grafiknya!

1.3.7 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Bentuk umum a2x + bx + c (?) 0 a, b, dan c adalah bilangan-bilangan ril a  0 (?) adalah salah satu , , , atau  Contoh 1.15 Selesaikan pertidaksamaan x2 – 7x + 12 > 0 Penyelesaian

Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan 3 4

Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + ) ( 3 4

Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + x – 3 – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + ) ( 3 4

Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + x – 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 4)(x – 3) + + + + + 0 – – – – – – – – – 0 + + + + + + ) ( 3 4

Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + x – 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 4)(x – 3) + + + + + 0 – – – – – – – – – 0 + + + + + + ) ( 3 4 Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < 3 atau x > 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Contoh 1.16 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 10 x – 2  2(x + 2) Penyelesaian 10 x – 2  2(x + 2)  10 x – 2  2(x + 2)(x – 2) 10 x – 2  2x2 – 8 2x2 – 8 – 10   0 10 x – 2  2(x2 – 4)  2(x–3)(x+3) x – 2  0  2x2 – 18 x – 2  0 2(x2 – 9) x – 2  0  Titik-titik kritis –3, 2, 3

Grafik pertidaksamaan

Grafik pertidaksamaan –3 2 3

Grafik pertidaksamaan x – 3 : –3 2 3

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + –3 2 3

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + –3 2 3

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + –3 2 3

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + +

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + [ ) –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + +

Grafik pertidaksamaan x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + [ ) –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + + Himpunan penyelesaian {x|–3  x < 2 atau x 3}

Latihan Selesaikan pertaksamaan berikut dan tentukan selangnya! a) (x + 2)(x – 3) > 0 e) x2 + 4x – 5 < 0 b) ( x – 4)(x + 5) < 0 f ) x2 > 5x – 6 c) x(x + 6)  0 g) 7x – 12  x2 d) (x – 7)x  0 h) x2 ) 21  10x

1.4 KOORDINAT KARTESIUS y  x O

Menggambar titik koordinat (3,–4 ) x y O     A (3, –4)

 Kuadran-kuadran x y O Kuadran II (–, +) Kuadran I (+, +) Kuadran III (–, –) Kuadran IV (+, –)

Latihan Tentukan kuadran dari masing-masing titik-titik koordinat berikut! a) (2, 3) b) (4, –5) c) (–5, –6) d) (–1, 6) e) (–3, 7) f ) (–3, 1)