Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, Koordinat Bola Desember 2011

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

Koordinat Kartesius y x

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 3 Dimensi Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus

Koordinat Kartesius z y x

Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar O titik kutub sumbu polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi: -  derajat dari sumbu-x (sumbu polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r : koordinat radial  : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil = ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)

Koordinat Polar r 

Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesius Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catatan: menentukan  Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan (y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan (y/x).

Koordinat Polar Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a adalah r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari-jari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos 

Koordinat Polar Jika a = 1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  ke dalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r menjadi r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tersebut dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Titik dalam koordinat tabung Koordinat Polar dalam bidang datar r 

Titik dalam koordinat tabung Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).  r

Titik dalam koordinat tabung (r,,z)  r  r

Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius  r (r,,z)

Titik dalam koordinat bola (x,y,z) 

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola 

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola Sudut .

Titik dalam koordinat bola ( , ,) 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Integral pada Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Integral: Koordinat Kartesius Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi

Integral: Koordinat Tabung Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r, q, and z? Dengan menganggap kasus 2 dimensi dalam koordinat polar  r

Integral: Koordinat Tabung Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r r r+Dr

Integral: Koordinat Tabung Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r. r r+Dr r r+Dr

Integral: Koordinat Tabung  Dq  Sudut q terjadi penambahan sudut sebesar Dq.

Integral: Koordinat Tabung Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut  

Integral: Koordinat Tabung Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

Integral: Koordinat Tabung Dengan penambahan Dz.

Integral: Koordinat Tabung Untuk mencari volume benda padat

Integral: Koordinat Tabung Maka . . .

Soal Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut dalam koordinat polar (2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4) 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan

Soal 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung dan gambarkan

Soal 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan

Soal 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola dan gambarkan

Soal 6. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).