Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal : Metode Gramm-Schimdt Perubahan basis

Hasil kali dalam Definisi : adalah fungsi yang mengkaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V ( misalkan vektor u dan v dengan notasi <u,v> )dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini : Simetris : <u,v> = <v,u> Aditivitas : <u+v, w> = <u,w> + <v,w> Homogenitas : <ku,v> = k<u,v> , k : scalar Positivitas : <u,v> ≥ 0 dan ( <u,u> = 0 u = 0) Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD

Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3 merupakan hasil kali dalam ! Jawab : Misalkan : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) dan c(c1, c2, c3) berada dalam R3. Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam yaitu : 1. Simetri : <a, b> = (a.b) = (a1b1 + a2b2 + a3b3) = (b1a1 + b2a2 + b3a3) = <b,a> (terpenuhi)  

2. Aditivitas : <a+b, c> = ((a + b) . c) = ((a1+b1, a2 + b2, a3 + b3) . (c1, c2, c3)) = ((a1c1 + b1c1) + (a2c2 + b2c2) + (a3c3 + b3c3)) = (a1c1 + a2c2 + a3c3) + (b1c1 + b2c2 + b3c3) = <a,c> + <b,c> (terpenuhi) 3. Homogenitas : <ka, b> = (ka.b) = (ka1b1 + ka2b2 + ka3b3) = k(a1b1 + a2b2 + a3b3) = k(a.b) = k< a,b > (terpenuhi)

2. Diketahui <u,v> = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan 4. Positivitas : <a, a> = (a.a) = (a12 + a22 + a32)≥ 0 terpenuhi) dan <u,u> = (a12 + a22 + a32)= 0 u =(0,0,0) = 0 (terpenuhi) 2. Diketahui <u,v> = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f). Apakah <u,v> tersebut merupakan hasil kali dalam ? Jawab : Akan ditunjukkan apakah <u,v> memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam berikut ini :

Simetri <u,v> = ad + cf = da + fc = <v, u> (terpenuhi)  2. Aditivitas Misalkan w = (g,h,i) <u + v, w> = ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i)) = (a + d)g + (c + f)i = (ag + ci) + (dg + fi) = <u,w> + <v,w> (terpenuhi)

Homogenitas <ku,v> = (kad + kcf) = k(ad + cf) = k<v,u> (terpenuhi) 4. Positivitas <u ,u> = (u.u) = (a2 + c2) ≥0 (terpenuhi) dan <u,u> = (a2 + c2) = 0 tidak selalu u =(0,0,0), karena nilai u =(0,b,0) dengan b ≠0, maka nilai <u,u> = 0 tidak terpenuhi Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka <u,v> = ad+ cf dengan dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil kali dalam

Panjang vektor, jarak antar vektor dan besar sudut dalam RHD Jika V merupakan ruang hasil kali dalam, u,v dalam V, maka : Panjang u = <u,u>1/2 Jarak u dan v : d(u,v) = <u – v, u – v >1/2 Misalkan sudut θ dibentuk antara u dan v dalam RHD, maka : jika u dan v saling tegak lurus, maka

Bukti : Contoh soal : Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam <u,v> = (u1v1 + 2 u2v2 + u3v3) dengan u =(u1,u2,u3), v =(v1,v2,v3). Jika vektor-vektor a, b dalam V dengan a = (1,2,3) dan b = ( 1,2,2), tentukan : a. Besar cos Ѳ dengan Ѳ adalah sudut antara a dan b b. Jarak antara a dan b !

Jawab : a. b. Jarak a dan b : d(a,b) = <a – b, a – b >1/2 (a – b ) = (0,0,1)

Basis ortonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v1, v2 ……., vn adalah vektor-vektor dalam V Beberapa definisi penting H = {v1, v2 ……., vn} disebut himpunan ortonormal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu <vi, vj> = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…..,n b. G = {v1, v2 ……., vn} disebut himpunan ortonormal bila : - G himpunan ortogonal - Norm dari vi = 1, i = 1,2,….n atau <vi,vi>=1

Proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. H = {v1, v2, ….., vn} adalah himpunan vektor bebas linier dari ruang vektor dengan dim≥n dan S = {w1, w2, ….., wn} merupakan himpunan yang ortonormal. Jika W adalah ruang yang dibangun oleh w1, w2, …., wn, maka untuk setiap vektor z1 dalam w1 dapat dituliskan sebagai : dengan k1, k2, …., kn :skalar. z1 = k1w1 + k2w2 + …. + knwn

Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 2 vektor yang saling tegak lurus : Karena z1 dalam W, maka z1 merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W. Sedangkan z2 merupakan komponen u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z1 perlu ditentukan nilai k1 yang merupakan panjang u terhadap w1. Proyeksi ortogonal u terhadap w1 adalah : w1, w2, ……, wn merupakan vektor-vektor ortonormal. u = z1 + z2. proy w1(u) = <u, w1>

Jadi penulisan proyeksi ortogonal u terhadap W adalah : (w1, w2, ……, wn merupakan himpunan vektor ortonormal) Komponen u yang tegak lurus terhadap W dituliskan sebagai : Proyw (u) = z1 = <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn z2 = u – z1 = u – <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn

Metode Gramm – Schmidt Mengubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang ortonormal Syarat : Himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah yang bebas linier. Jika yang ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V, maka metode Gramm – Schmidt akan menghasilkan basis ortonormal untuk V

Jika diketahui K = {v1, v2, …..,vn} merupakan himpunan yang bebas linier, maka K dapat diubah menjadi himpunan S = {w1, w2, …..,wn} yang ortonormal dengan menggunakan metode Gramm – Schimdt yaitu : 1. , ini proses normalisasi yang paling sederhana karena melibatkan hanya 1 vektor saja. Pembagian dengan bertujuan agar w1 memiliki panjang = 1, pada akhir langkah ini diperoleh bahwa w1 ortonormal

2. Pada akhir langkah ini diperoleh dua vektor w1 dan w2 yang ortonormal. 3. . n.

W merupakan ruang yang dibangun oleh w1, …., wi-1 Secara umum : W merupakan ruang yang dibangun oleh w1, …., wi-1 Pada metode ini, pemilihan v1, v2, …., vn tidak harus mengikuti urutan vektor karena basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan v1, v2, …., vn sangat memungkinkan diperoleh jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari v1, v2, …., vn yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu <vi, vj>= 0. Dalam kasus ini bisa diambil v1 = vi dan v2 = vj dan seterusnya.

Contoh soal : Diketahui H = {a, b, c} dengan a = (1, 1, 1), b = ( 1, 2, 1) dan c (- 1, 1, 0). a) Apakah H basis R3 ? b) Jika ya, transformasikan H menjadi basis ortonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides ! Jawab : a) Karena dim (R3) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3, maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R3 atau bukan yaitu dengan cara menghitung determinan matrik koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R3. Jika det = 0 berarti H bukan merupakan basis R3, sedangkan jika det ≠ 0, maka vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R3, sehingga H merupakan basis R3.

Matrik koefisien dari SPL adalah : Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, didapatkan : Karena det = 1, berarti H merupakan basis dari R3 b) Hasil kali dalam antara a, b dan c <a,b>=4, <a,c> 0, <b,c> = 1 Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil : v1 = a, v2 = b, v3 = c

{Karena <a,c> = 0 maka <c,w1> }

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal Diketahui V RHD dan H = {v1, v2, …., vn} dalam V merupakan ortogonal dengan v1≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s1, s2, …., sn} dengan Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm – Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proyw(vi) = 0, akibat dari v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V

Contoh soal : Diketahui a, b, c dalam R3 dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R3 merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal ! Jawab : <a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 0 Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R3) = 3 jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R3.

Misalkan : Basis ortonormal untuk R3 adalah :

Perubahan basis Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B

y y u1 v2 v1 6v1 x x u2 x -v2 x 3u2 (a) (b) Gambar di atas menunjukkan 2 sistem koordinat dalam R2 yang berbeda yaitu : basis B = {u1, u2} dan basis C = {v1, v2} Dengan :

Untuk vektor x yang sama pada setiap sistem koodinat, maka penulisan koordinat vektor x yang sesuai dengan B dan C adalah : Untuk menghitung x dengan mengunakan x = u1 + 3 u2 = Dengan menuliskan bentuk u1 dan u2 ke v1 dan v2 diperoleh : x = (-3v1 + 2v2) + 3(3v1 –v2) = 6v1 – v2 diperoleh : dan

Jika V ruang vektor, S={s1, s2, … Jika V ruang vektor, S={s1, s2, ….,sn} merupakan basis V, maka untuk sembarang x dalam V dituliskan: dengan k1, k2, ….kn skalar yang juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S x = k1s1 + k2s2 +……+ kxsn disebut matrik x relatif terhadap basis S

Jika S merupakan basis ortonormal, maka : Jika A ={x1,x2} dan B = {y1, y2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan : Bagaimana hubungan ?

Misalkan : Dari (1) Dari (2) Untuk (3) Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

Ini berarti : P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B. Secara umum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn} berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah : Jika P dapat dibalik, maka P-1 merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A

Contoh soal : Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut merupakan basis R2 dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3) dan y = (-1,-1). Tentukan : Matrik transisi dari basis A ke basis B Hitung Hitung dengan menggunakan hasil dari b Matrik transisi dari basis B ke basis A

a. Misalkan Dan untuk Jadi matrik transisi dari basis A ke basis B adalah : b. Misalkan

c. Dari (a) dan (b) didapatkan sehingga d. Matrik transisi dari basis B ke basis A adalah P-1 dengan P merupakan matrik transisi terhadap basis A ke basis B. merupakan matrik transisi Jadi dari basis B ke basis A

Perhitungan perubahan basis suatu matrik dengan metode Gauss-Jordan Anggap B = {u1….., un} dan C = {v1….., vn} merupakan basis dari ruang vektor V dan P adalah matrik transisi basis B ke C. Kolom ke i dari P adalah : Sehingga : ui = p1i v1 + …. + pni vn . Jika ε adalah sembarang basis di V, maka :

Dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut : Persamaan ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss – Jordan dari matrik augmented : Diperoleh hasil :

Contoh soal : Dalam M22 diketahui basis B = {E11, E21, E12, E22} dan basis C = {A, B, C, D} dengan : Tentukan matrik transisi dari basis B ke basis C ! Jawab : Jika ε adalah basis sembarang untuk M22 merupakan basis standar, maka dapat diperoleh :

Dengan metode Gauss – Jordan diperoleh :

Jadi matrik transisi P diperoleh :

Soal latihan : Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan : <u,v> = u12+u2 v22 di R2 <u,v>= u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 di R3 <u,v>= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 <u,v>= 2u1v1 +u2v2 +3u3v3 2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah ortogonal dalam ruang Euclides 3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor (1,1,0) dan (1,0,-1) Tentukan proyeksi ortogonal vektor (-1,1,2) pada W 4. Diketahui B={u1, u2} dan C ={v1, v2} adalah basis ruang vektor V dengan u1 =(2, 2), u2= (4, -1), v1=(1, 3) dan v2= (-1, -1). Tentukan matrik transisi P dari basis B ke basis C