Kalkulus Teknik Informatika INTEGRAL Kalkulus Teknik Informatika

PENDAHULUAN INTEGRAL DIFERENSIAL

Contoh Integral Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu

Teorema A : Aturan Pangkat Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali (-1), maka : Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru. Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral, sedangkan f(x) disebut integran

Teorema B : Kelinearan integral tak tentu Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka  k f(x) dx = k  f(x) dx  [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx  [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx

Teorema C Aturan pangkat yang diperumum Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :

TURUNAN DAN DIFERENSIAL RUMUS DASAR INTEGRAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL RUMUS DASAR INTEGRAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL RUMUS DASAR INTEGRAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL RUMUS DASAR INTEGRAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

CONTOH SOAL INTEGRAL BIASA Tentukan : Berapa nilai dari 4. Berapa nilai dari TURUNAN DAN DIFERENSIAL

CONTOH SOAL INTEGRAL TRIGONOMETRI Berapa nilai integral dari : TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Integral Tentu Teorema Kalkulus yg penting Jika fungsi f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, maka dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.

TURUNAN DAN DIFERENSIAL CONTOH SOAL Berapa nilai dari integral berikut ? TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh Solusi =

Contoh Solusi = = 14-13 = 11

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini Solusi

Grafik

Area diantara dua kurva Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)

Contoh Solusi Carilah area R yang berada diantara kurva dan kurva Carilah titik pertemuan antara 2 kurva => => x=1 or x=0 => = = =

Contoh Solusi Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva Carilah titik pertemuan:

Sifat-sifat Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu

Volume Benda Putar

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

TURUNAN DAN DIFERENSIAL Metode Cakram TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL Contoh 1 (296/7) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 2

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Contoh

Latihan

Integral Partial Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi : Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi : d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu Integral Parsial

Aturan yg hrs diperhatikan Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan tidak boleh lebih sulit daripada Contoh 1 : Misal : u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x Integral Parsial

Rumus integralnya : = x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u dv u v - v du = x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u = cos x dv = x dx du = -sin x dx v = x2/2 Rumus Integral Parsialnya : Penting Sekali pemilihan u dan v Integralnya lebih susah Integral Parsial

Pengintegralan Parsial Berulang Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali Misal : u = x2 dv = sin x dx du = 2x dx v = -cos x Maka : Tampak bahwa pangkat pada x berkurang Perlu pengintegralan parsial lagi Integral Parsial

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K Dari contoh 1 : = -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K Integral Parsial

Contoh 3 : Misal : u = ex dan dv = sinx dx du = exdx dan v = - cosx Maka : Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua u = ex dv = cos x dx du = exdx v = sin x Integral Parsial

Sehingga : Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama Integral Parsial