GRUPOID, dan HUKUM PENCORETAN STRUKTUR ALJABAR GRUPOID, dan HUKUM PENCORETAN

TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop

Cakupan Komposisi biner Struktur aljabar Grupoid Unsur kesatuan Komutatif Daftar Cayley Hukum Pencoretan

STRUKTUR ALJABAR Adalah himpunan tak kosong dengan sebuah/beberapa operasi tertutup (komposisi biner). Beri contoh-contoh struktur aljabar dan yang bukan struktur aljabar

GRUPOID Adalah struktur aljabar dengan satu operasi tertutup (komposisi biner). Simbol (G, ) Beri contoh-contoh grupoid dan yang bukan grupoid

Operasi Komutatif Grupoid (G, ) disebut komutatif jika xy = yx, untuk setiap x,y G. Beri contoh-contoh grupoid yang komutatif dan yang tidak komutatif.

Daftar Cayley A = {0, 1, 2, 3} dengan operasi tambah modulo 4 B={1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5 Buatlah daftar Cayleynya.

Unsur Kesatuan Grupoid G mempunyai unsur kesatuan kiri=e jika ex = x untuk setiap xG. Grupoid G mempunyai unsur kesatuan kanan=f jika xf =x untuk setiap xG.

Teorema Jika grupoid G mempunyai unkes kiri=e dan unkes kanan=f, maka e=f. Akibat: Jika suatu grupoid punya unkes kiri lebih dari sebuah, maka tdk ada unkes kanan. Jika suatu grupoid punya unkes kanan lebih dari sebuah, maka tdk ada unkes kiri.

Ciri tertutup, unkes & komutatif pada Daftar Cayley Apa ciri grupoid yang tertutup? Apa ciri grupoid yang tidak tertutup? Apa ciri adanya unkes kiri? Apa ciri adanya unkes kanan? Apa ciri berlakunya sifat komutatif? Apa ciri adanya invers untuk setiap elemen?

Hukum Pencoretan Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kiri jika ab = ac mengakibatkan b=c. Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kanan jika ba = ca mengakibatkan b=c. Jika (G,) komutatif dan memenuhi pencoretan kiri, maka pasti memenuhi pencoretan kanan. Sebaliknya? Mengapa? Beri contoh-contoh grupoid yang memenuhi dan yang tidak memenuhi hukum pencoretan.

Ciri pencoretan kiri dan kanan Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kiri dilihat dari tabel Cayley? Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kanan dilihat dari tabel Cayley? Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kiri dan kanan (sekaligus) dilihat dari tabel Cayley?

Contoh: Beri contoh tabel Cayley untuk grupoid yang memenuhi pencoretan kiri, tetapi tidak memenuhi pencoretan kanan. Beri contoh yang sebaliknya. Beri contoh yang memenuhi keduanya. Bilamana suatu grupoid memenuhi hukum pencoretan terbatas? Tak terbatas? Beri contoh-contoh untuk terbatas dan tak terbatas.

Penutup Komposisi biner: tertutup Struktur aljabar: sistem dengan satu atau lebih operasi tertutup Grupoid: sistem dengan satu operasi tertutup Unsur kesatuan: ae=ea=a Komutatif: ab=ba Daftar Cayley: daftar yang menunjukkan operasi antar elemen pada sistem berhingga Hukum Pencoretan ab=ac berarti b=c, juga ba=ca berarti b=c