Sebaran Bentuk Kuadrat Pengertian Sebaran Pertemuan-3 17 April 2013 Sebaran Multivariate Normal Sebaran Central & Non-Central X2 Pertemuan-4 18 April 2013 Sebaran Central & Non-Central F Indepedensi Bentuk Kuadrat

Pengertian Sebaran (Distribution) Group/ Family Random Variables Sebaran t F Normal X2 Lain Mean Varian dof dof dof Estimasi Parameter

Pengertian Sebaran Definisi: Jika y merupakan k x 1 random vektor ~ (µ,1), y’ y ~ distribusi non-central dan non-central parameter: maka suatu variabel random dinyatakan sebagai:

Pengertian Sebaran Implikasi dari definisi: Jika y berdistribusi normal dengan rata-rata µ, maka random variabel juga berdistribusi normal dengan rata-rata Var y = 1, maka dari matriks varian-kovarian dari y adalah matriks identitas Random variabel dari y’y adalah sum squares: ~

Pengertian Sebaran Contoh: Jika random variabel ~ (µ,1), dimana: dan , maka: Sehingga adalah random variabel ~

Pengertian Sebaran Contoh Sebaran X2k: Sifat Sebaran X2k: Sifat Aditif: Penjumlahan independent non-central chi-squared random variable adalah dirinya sendiri Baik degree of freedom (k) maupun non-central parameter (λ) dapat ditambahkan SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK@2010

Sebaran Multivariate Normal Asumsi Sebelumnya: Matriks varian-kovarian dari y adalah diagonal Kovarian bernilai nol Random variabel yang berdistribusi normal bersifat independen Bagaimana bila asumsi tidak terpenuhi? Perlu Sebaran Multivariate Normal…..

Sebaran Multivariate Normal Definisi: Jika merupakan p variabel random dan jika y vektor berukuran p × 1 dari variabel-variabel tersebut, maka: merupakan fungsi multivariate normal (p-variate) jika kondisi-kondisi berikut terpenuhi:

R adalah matriks definit positif dengan elemen-elemen rij merupakan konstanta. K adalah konstanta positif. µi merupakan elemen-elemen ke – i vektor µ adalah konstanta.

Bentuk multivariate normal menjadi: atau dengan adalah matriks varian-kovarian dari vektor y. y ~ Np(μ,Σ)

Teorema: MGF Multivariate Normal Jika berdistribusi , maka MGF-nya: Dua sifat penting dari MGF: Jika dua vektor random memiliki MGF yang sama, maka keduanya memiliki pdf yang sama. Dua vektor random saling bebas jika dan hanya jika joint MGF-nya dapat diuraikan menjadi perkalian MGF tiap-tiap vektor random.

Teorema: Ekspektasi Multivariate Normal Jika gabungan dari berdistribusi normal dengan bentuk kuadratik Q, maka vektor rataan adalah vektor yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan misal:

Sifat-sifat distribusi multivariate normal: Diketahui vektor random y ~ Np(μ,Σ), a vektor konstanta berukuran p×1, dan A matriks konstanta k×p dengan rank k≤p, maka: z = a’y ~ N (a’μ, a’Σa) z = A’y ~ N (A’μ, A’ΣA) Diketahui y ~ Np(μ,Σ), maka sembarang subvektor berukuran r ×1 (r ≤ p) dari y akan berdistribusi normal r-variate dengan rataan, varians, dan covarians seperti distribusi normal p-variate yang asli.

→ jika y ~ Np(μ,Σ) dan jika maka Ay dan By independen. → jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap individual variabel yi dalam y berdistribusi . Jika , maka y dan x independen jika → jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap dua variabel individu yi dan yj independen jika . → jika y ~ Np(μ,Σ) dan jika maka Ay dan By independen.

Distribusi Non Central Chi-Kuadrat Definisi: Diketahui y vektor random berukuran p×1 berdistribusi normal dengan rataan dan varians I. Maka berdistribusi non-central chi-kuadrat dengan derajat bebas p dan parameter non-central yang dinotasikan dengan

Fungsi probabilitas : MGF: Mean dan Varians: ........ 1 ........ 2

Sifat additive: Jika masing-masing independen dengan fungsi distribusi , maka: Jika maka berdistribusi . Jika masing-masing independen dengan fungsi distribusi , maka:

Distribusi Non Central F Jika , , dengan dan saling bebas, maka berdistribusi non-central F dengan parameter non-central

pdf, mean, dan varians distribusi non-central F ........ 3 ........ 4

Double non central F: Jika dan dengan dan saling bebas, maka

DISTRIBUSI BENTUK KUADRAT Teorema Jika , maka jika & hanya jika A adl matriks idempoten dengan rank k . Jika , maka dengan jhj A matriks idempoten dengan rank k. Jika , maka dengan jhj A matriks idempoten dengan rank k. y ~ Nk(0,I) y ~ Nk(µ,I) y ~ Nk(µ,σ2I)

Jika , maka jhj idempoten dengan rank k. Jika , maka dengan dan k adalah rank dari A, jhj matriks idempoten. y ~ Nk(0,Σ) y ~ Nk(µ,Σ)

INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT Teorema: Independensi dua bentuk kuadrat Jika , A dan B matriks konstanta maka dan independen jhj ( ). y ~ Nk(µ,Σ)

INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT Teorema: Independensi bentuk kuadrat dan linier Jika B dan A matriks konstanta dengan ukuran berturut- turut k×p dan p×p serta maka dan independen jhj ( ). y ~ Np(µ,Σ)