Distribusi Probabilitas ()

Variabel Acak Variabel acak merupakan suatu variabel yang nilainya ditentukan dari hasil percobaan. Variabel acak ini dibedakan atas dua macam yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu Suatu variabel disebut variabel acak apabila variabel tersebut menghasilkan nilai yang selalu berbeda pada setiap peristiwa (trial) dan perubahan tersebut tidak dapat diperkirakan.

Variabel Acak Diskrit Variabel yang dapat memiliki sejumlah nilai yang dapat dihitung atau sejumlah nilai yang terbatas jumlahnya. Misalnya : 1. Banyak produk cacat dalam satu kali proses produksi 2. Jumlah mahasiswa yang D.O dalam tahun tertentu 3. Banyaknya mobil yang terjual dalam sebulan 4. Banyaknya kecelakaan yang terjadi dalam setahun, dsb Maksudnya, variabel diskrit tersebut nilai-nilainya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, ...…

Variabel Acak Kontinu Variabel acak kontinu adalah variabel yang dapat memiliki nilai yang tak berhingga yang berkaitan dengan titik-titik dalam suatu interval garis. Misalnya : Lamanya waktu untuk melengkapi suatu operasi perakitan dalam suatu pabrik Jarak antara penyalur dan pembeli, dsb hasil pengukuran tersebut dapat dapat berupa pecahan.

Distribusi Peluang Berdasarkan jenis variabel acaknya, maka distribusi peluang suatu kejadian dibedakan dua macam yaitu - Distribusi Peluang Diskrit : Distribusi Binomial Distribusi Poisson - Distribusi Peluang Kontinu : Distribusi Normal

Distribusi Binomial/Bernoulli Dikembangkan oleh James Bernoulli (1654-1705) Ciri-ciri : 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin yaitu “Sukses” dan “Gagal” Distribusi binomial merupakan salah satu model distribusi peluang untuk variabel acak yang diskrit.

Distribusi Binomial/Bernoulli Ciri-ciri : Peluang sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q=1-p, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya. Contoh 1 : - Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p. Contoh 2 : Sebuah dadu dilempar sepuluh kali dan dihitung berapa jumlah muncul angka empat. Distribusi jumlah acak ini adalah distribusi binomial dengan n = 10 dan p = 1/6.

Peluang Kejadian Distribusi Binomial Peluang kejadian yang diharapkan sebanyak x kali dari n kejadian menurut Bernoulli P(X ; n ) = Peluang x kejadian yang diharapkan (sukses) dari n kejadian X = Jumlah kejadian yang diharapkan (sukses) n = Jumlah seluruh kejadian (percobaan) x/n = disebut koefisien binomial, menunjukkan x kali sukses dari n kejadian

Peluang Kejadian Distribusi Binomial Berdasarkan data perusahaan penyedia layanan internet, 20% dari konsumen menyatakan sangat puas dengan pelayanan perusahaan, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari konsumen yang pernah menggunakan layanan internet di perusahaan tsb, berapakah peluang :

Peluang Kejadian Distribusi Binomial a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

Peluang Kejadian Distribusi Binomial a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. X ≤ 2 P(X;n) = P(0;5) + P(1;5) + P(2;5) P(0;5) = (5!/0!5!) . 0,200 . 0,805 = 0,32768 P(1;5) = (5!/1!4!) . 0,201 . 0,804 = 0,40960 P(2;5) = (5!/2!3!) . 0,202 . 0,803 = 0,20480 Jadi peluang 2 orang konsumen menyatakan puas adalah 0,94208 atau 94,2% hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208

Peluang Kejadian Distribusi Binomial b)      Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas  X ≥ 1 P(X;n) = P(1;5) + P(2;5) + P(3;5) + P(4;5) + P(5;5) P(1;5) = (5!/1!4!) . 0,151 . 0,854 = P(2;5) = (5!/2!3!) . 0,152 . 0,853 = … dst Jadi peluang Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas adalah … b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) = 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562

Peluang Kejadian Distribusi Binomial c)      Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja X = 2 P(X;n) = P(2;5) d)     Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas 2 ≤ X ≤ 4 P(X;n) = P(2;5) + P(3;5) + P(4;5) b(2; 5, 0.25) = 0.2637 b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528

Mean dan Variansi dari Distribusi Binomial

Mean dan Variansi dari Distribusi Binomial Rata-rata 2 konsumen menyatakan biasa saja : 5 . 0,25 = 1,25 kali Variansi 2 konsumen menyatakan biasa saja : 5 . 0,25 . 0,75 = 0,94 kali

Distribusi Binomial Kerjakan. Sejumlah partai besar suatu produk yang masuk disebuah pabrik diteliti cacatnya dengan suatu skema pengambilan sampel. Sepuluh barang diperiksa dan partai barang akan ditolak jika 2 unit barang atau lebih ditemukan cacat. Jika suatu partai berisi tepat 5% barang yang cacat, berapakah peluang bahwa partai barang tersebut diterima?

Distribusi Binomial jawab. Partai barang yang diterima, bila X = 0 atau X = 1 P(X;n) = P(0;10) + P(1;10)

Distribusi Poisson Dikembangkan oleh Matematikawan Prancis Simeon Denis Poisson Distribusi peluang diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu. Alternatif distribusi binomial untuk kasus dengan n sangat besar (n>20) atau p sangat kecil (p<0,1) Misal, banyaknya panggilan telepon yang diterima oleh operator telepon selama suatu periode waktu pendek tertentu, jumlah klaim terhadap sebuah perusahaan asuransi selama satu minggu tertentu, banyaknya kecelakaan di perempatan jalan pada periode waktu tertentu . Distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Peluang kejadian yang diharapkan sebanyak x kali dari n kejadian P(X = x ) = Peluang terjadinya x kejadian yang sukses e = Bilangan Napier atau bilangan euler ( e = 2,71828)

Peluang Kejadian Distribusi Poisson

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Contoh : Kebangkrutan bank di Negara X yang disebabkan oleh kesulitan keuangan terjadi rata-rata 4 bank setiap tahun. Berapa peluang paling sedikit 3 buah bank bangkrut pada suatu tahun tertentu?

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Penyelesaian : X = kejadian bank yang bangkrut , µ= 4 Paling sedikit 3 buah bank bangkrut, berarti X ≥ 3 N tidak diketahui, sehingga akan lebih efektif jika menghitung (1-P)

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Jadi peluang bahwa paling sedikit 3 buah bank bangkrut pada suatu tahun tertentu adalah 0, 762 atau 76,2 %

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Contoh : Suatu mesin cetak diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali dalam setahun. Penurunan mesin lebih dari 3 kali menyebabkan rencana produksi tak tercapai a. Berapa peluang rencana produksi akan tercapai? b. Berapa peluang rencana produksi tak tercapai?

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Penyelesaian : X = kejadian mesin diturunkan , µ= 2 a. Berapa peluang rencana produksi akan tercapai? Mesin diturunkan maksimum 3 kali , berarti x ≤ 3

Peluang Kejadian Distribusi Poisson Penyelesaian : b. Berapa peluang rencana produksi tak tercapai? Mesin diturunkan lebih dari 3 kali , berarti x > 3

Latihan Kerjakan. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika peluang penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang dalam jangka waktu tertentu? n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2 P(x=3)=...? = 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 % n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2 P(x=3)=...?

Latihan

Menghitung Distribusi Binomial dengan Ms. Excel

Menghitung Distribusi Binomial dengan Ms. Excel “False” untuk P(X=x), “True” jika P(X<=x)

Menghitung Distribusi Poisson dengan Ms. Excel

Menghitung Distribusi Poisson dengan Ms. Excel “False” untuk P(X=x), “True” jika P(X<=x)