Materi Kuliah Kalkulus II Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, dan Koordinat Bola Materi Kuliah Kalkulus II

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y. Dalam koordinat kartesius, koordinat suatu titik didefinisikan sebagai jarak berarah dari sumbu koordinat, P(x, y).

Koordinat Kartesius y x

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 3 Dimensi Sistem koordinat kartesian 3 dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, dan ketiganya saling tegak lurus. P(x, y, z)

Koordinat Kartesius z y x

Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P(r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar O (titik kutub) Sumbu Polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi: -  derajat dari sumbu x (sumbu polar) ( diukur berlawanan arah jarum jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Koordinat Polar r 

Contoh Gambar titik-titik yang mempunyai koordinat polar berikut. (1, /3), (3, /2), (1, 4), (3, –/6), (– 2, /3), (– 2, –/2)

Koordinat Polar Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (–r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ), untuk n bil. bulat genap Contoh: Gambarkan titik-titik yang mempunyai koordinat polar berikut. (2, /3), (–2, 4/3), (2, 7/3), (–2, –2/3). Gambar titik-titik berikut dan berikan 4 pasang koordinat polar yang lain. (1, /2), (2, 5/2)

Konversi antara Koordinat Polar dan Koordinat Kartesius Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesius. x = r cos  , y = r sin  Konversi koordinat kartesius ke dalam koordinat polar r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catatan dalam menentukan  Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi /2 <  < /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

Contoh Tentukan koordinat kartesius dari (1, /2) dan (2, /3). Tentukan koordinat polar dari dan (0, 2).

Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos 

Koordinat Polar Jika a=1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  ke dalam sistem koordinat kartesius: Penyelesaian Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 – 2y = 0 Jadi persamaan tersebut dalam koordinat kartesius adalah x2 + (y – 1)2 = 1

Contoh Identifikasi bentuk kurva dari persamaan berikut dengan mengubah ke koordinat kartesius. r = 3, r sin  = 4, Ubah bentuk berikut ke koordinat polar x = 7, 4xy = 9, x2 = 9y Gambarlah kurva r = 1 – cos .

Titik 3D dalam Koordinat Tabung Koordinat polar dalam bidang datar (2D) r 

Koordinat tabung diperoleh dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r, ) sehingga koordinatnya menjadi (r, , z).  r

Titik 3D dalam koordinat tabung (r,,z)  r  r

Konversi antara Koordinat Tabung dan Koordinat Kartesius Koordinat tabung ke koordinat kartesius  r (r,,z) Koordinat kartesius ke koordinat tabung

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola (x,y,z) 

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola 

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola Sudut .

Suatu Titik dalam Koordinat Bola dengan  = jari-jari, jarak titik dari titik asal  = sudut putar titik dari sumbu x positif menuju sumbu y positif  = sudut kutub, sudut dari sumbu z positif ( , ,) 

Konversi Koordinat Bola ke dalam Koordinat Kartesius (x,y,z) r Jika r sama seperti di koordinat tabung r2 = x2 + y2 + z2  z 

Konversi Koordinat Bola ke dalam Koordinat Kartesius (x,y,z) r  z 

Konversi Koordinat Kartesius ke dalam Koordinat Bola (x,y,z) r  z 

Soal (4, /6, /2) (1, 3/4, 2/3) (2, /4, 1) (3, /3, 1) Ubah dari koordinat tabung ke koordinat kartesius. (5, /2, 3) (6, /3, –5) Ubah dari koordinat bola ke koordinat kartesius. (4, /6, /2) (1, 3/4, 2/3) Ubah dari koordinat kartesius ke koordinat bola. (1, 1, –22) (1, 3, 0) Ubah dari koordinat bola ke koordinat tabung. (4, /3, /3) (2, /4, 5/6) Ubah dari koordinat tabung ke koordinat bola. (2, /4, 1) (3, /3, 1)

Soal Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

Soal Diketahui persamaan dalam koordinat bola: Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola & gambarkan