Pengantar Logika Proposional Materi Kuliah Pengantar Logika Proposional Oleh: Salman Aliaji Program Studi TEKNIK INFORMATIKA

PERNYATAAN Pernyataan = Kalimat Pernyataan selalu dapat ditentukan nilai kebenarannya, apakah pernyataan tersebut benar atau salah. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran.

Nilai Kebenaran Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari setiap pernyataan sederhana yang dikandungnya dan cara menghubungkan pernyataan-pernyataan sederhana itu, dan bukan oleh keterkaitan isi pernyataan-pernyataan sederhana tersebut.

CONTOH PERNYATAAN 4 kurang dari 5 Indonesia terdiri atas 33 propinsi 2 adalah bilangan prima yang genap 3 adalah bilangan genap Tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti : Berapa umurmu ? (Kalimat tanya) Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan)

PROPOSISI Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Proposisi merupakan sebuah pernyataan. Contoh 4 kurang dari 5 (T/F) Indonesia terdiri atas 33 propinsi (T/F) 2 adalah bilangan prima yang genap (T/F) 3 adalah bilangan genap (T/F)

Contoh : Angka 8 adalah angka keberuntungan Angka 13 adalah angka sial Indonesia negara yang kaya raya Contoh diatas mengandung perdebatan. Setiap orang memiliki pendapat yang berbeda-beda. Ada yang menganggapnya benar, ada yang menganggapnya salah Tidak bisa dijadikan proposisi. Pernyataan tersebut tidak dapat dijawab benar atau salahnya (is true or false?)

Hal-hal yang harus dihindari pada proposisi Proposisi tidak bisa dipakai karena nilai benar atau salahnya tidak bisa ditentukan Pernyataan yang berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan tidak bisa dipakai pada proposisi. Proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama.

Proposisi Atomik vs Majemuk Argumen berisi proposisi-proposisi yang sudah tak bisa dipecah-pecah lagi disebut proposisi atomik Proposisi atomik yang dirangkai dengan perangkai logika (logical connectives) disebut proposisi majemuk Proposisi majemuk terdiri dari banyak proposisi atomik

Proposisi Atomik Proposisi harus berbentuk suatu pernyataan yang berupa kalimat dasar. Contoh : “Yetno dan Desi pergi kuliah”, harus dibaca “Yetno pergi kuliah” dan “Desi pergi kuliah”.

p : 13 adalah bilangan ganjil. Untuk mempermudah semua pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …. Atau huruf kapital P, Q, R, …atau huruf lainnya. Terserah Anda…. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah presiden pertama RI. r : 2 + 2 = 4

Pemberian Nilai A, B, C…p, q, r… dan seterusnya disebut variabel proposional, dan hanya memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F). Simbol berupa T dan F disebut konstanta proposional. Pada saat bersamaan tidak ada satu variabel proposional memiliki dua buah nilai yang berlawanan.

Dalam logika simbol T dapat digantikan angka 1, simbol F dapat digantikan dengan angka 0. Kombinasi angka 1 dan 0 melahirkan dunia digital dengan aturan tertentu, misalnya ASCII dan EBCDIC. Sehingga dapat menggantikan huruf atau simbol lainnya. Kombinasi 1 dan 0 adalah bahasa mesin yang dimengerti oleh komputer, atau bahasa tingkat rendah dan diterjemahkan oleh komputer sehingga dimengerti oleh manusia.

Perangkai LOGIKA Perangkai logika (logical connectives) yang digunakan untuk menyambung proposisi atomik dapat berupa : “ jika...maka...” (if ...then...) “atau ”(or) “dan ”(and)

Maka argumen tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Contoh : Jika harga gula naik, maka pabrik gula akan senang Jika pabrik gula senang, maka petani tebu senang Dengan demikian, jika harga gula naik, maka petani tebu senang Kalimat tersebut diubah menjadi proposisi atomik dan diubah menjadi huruf seperti berikut : A = Harga gula naik B = Pabrik gula senang C = Petani tebu senang Maka argumen tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Jika A maka B Jika B maka C Jika A maka C

dapat dibaca sebagai satu proposisi yang sama, karena intinya hanya : Kalimat : “Yetno mencintai Desi”, “Yetno amat mencintai Desi”, “Yetno sungguh-sungguh mencintai Desi dengan sepenuh hati” dapat dibaca sebagai satu proposisi yang sama, karena intinya hanya : “Yetno cinta Desi”.

Kalimat : “Saya akan sekolah walaupun tak punya uang” Kalimat ini memiliki 2 proposisi yakni “Saya akan sekolah” dan “Saya tak punya uang”. Di sini perlu ditafsirkan dalam bentuk kalimat “Jika saya akan sekolah dan tak punya uang, maka saya akan sekolah”.

“Gajah lebih besar daripada tikus.” Latihan “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? TRUE

Latihan Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? “520 < 111” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? FALSE

Latihan Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

“Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.” Latihan “Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? FALSE

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Latihan “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Hanya pernyataan yang bisa menjadi proposisi.

“x < y jika dan hanya jika y > x.” Latihan “x < y jika dan hanya jika y > x.” Apakah ini pernyataan ? YA Apakah ini proposisi ? YA … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? TRUE

(a) 13 adalah bilangan ganjil Contoh Apakah pernyataan di bawah ini adalah proposisi? Jika iya, tentukan nilai kebenarannya? (a) 13 adalah bilangan ganjil (b) Soekarno adalah presiden pertama RI. (c) 1 + 1 = 2 (d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f)  Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh Apakah pernyataan di bawah ini adalah proposisi Contoh Apakah pernyataan di bawah ini adalah proposisi? Jika iya, tentukan nilai kebenarannya? (a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Bisa jam 3, jam 5 atau jam 12 (b) Isilah gelas tersebut dengan air! (c) x + 3 = 8 (d) x > 3 (e) Mudah-mudahan terkabul cita-citamu.

Jika diubah menjadi huruf : Contoh : Modus Ponens Jika lampu lalu-lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti Lampu lalu-lintas menyala merah Dengan demikian, semua kendaraan berhenti Jika diubah menjadi huruf : A = Lampu traffic menyala merah B = Semua kendaraan berhenti Maka argumen tersebut dapat ditulis : Jika A maka B A B

Jika diubah menjadi huruf : Contoh : Modus Tollens Jika saya makan, maka saya kenyang Saya tidak makan Dengan demikian, saya tidak kenyang Jika diubah menjadi huruf : A = Saya makan B = Saya kenyang Maka argumen tersebut dapat ditulis : Jika A maka B Bukan A Bukan B

LATIHAN Manakah dari pertanyaan-pertanyaan berikut adalah proposisi? [a] Apakah jawabanmu ini sudah benar, Tantri? [b] Tantri pergi kuliah [c] 4 adalah angka prima [d] 4 adalah bukan angka prima [e] Angka 8 adalah angka keberuntungan [f] Angka 13 adalah angka sial [g] Indonesia negara yang kaya raya

LATIHAN Manakah dari pertanyaan-pertanyaan berikut yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk? [a] Setiap orang Indonesia kaya raya [b] Retno kaya raya, demikian juga dewi [c] Retno dan dewi sama-sama kaya raya [d] Retno kaya raya dan memiliki banyak harta [e] Retno dan Desi pergi kuliah [f] Saya akan sekolah walaupun tak punya uang [g] Deka amat mencintai Desi

LATIHAN Berilah nilai konstanta proposional T atau F pada pernyataan berikut! [a] Yogyakarta adalah ibukota negara Indonesia. [b] Angka 8 adalah angka genap. [c] Jepang berbentuk negara republik. [d] Indonesia berbentuk negara serikat. [e] Perang sipil sama dengan perang saudara.

x + 1 = 5 jika x = 2 x + y = y + z jika x = z

Proposisi atomik atau majemuk? wahyu orang indonesia kaya raya Badu kaya raya dan memiliki banyak harta Dino kaya raya atau banyak hartanya