LOGIKA MATEMATIKA

Dalam Logika Matematika ada dua kalimat penting yaitu pernyataan dan kalimat terbuka. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Yang di maksud benar atau salah adalah sesuai dengan keadaan yang sesunguhnya. Untuk lebih jelasnya ada contoh kalimat di bawah ini 1. Samarinda adalah ibu kota Provinsi Kalimantan Timur ( benar ) 2. Hasil 2 x 5 = 15 ( salah ) 3. Pantai Kuta terletak di Sulawesi Utara ( salah ) 4. Anak kecil itu cantik ( ? ) 5. Hari ini hujan lebat ( ? ) 6. Contoh bilangan genap adalah 4 ( benar )

Pada contoh diatas kalimat 1,2,3,6 merupakan pernyataan karena kalimat - kalimat tersebut dapat dinilai benar atau salahnya. Sementara itu kalimat 4 dan 5 belum merupakan pernyataan karena perlu penyelidikan terlebih dahulu dengan keadaan sesungguhnya. Nilai kebenaran digunakan untuk menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan. Suatu pernyataan bisa dituliskan dengan lambang huruf kecil misalnya p,q,r,s dan seterusnya. Contoh : Pernyataan “ Samarinda adalah ibu kota Kalimantan Timur” dituliskan sebagai p:Samarinda ibu kota Kalimantan Timur. Nilai kebenaran unutk p, dilambangkan dengan T ( P ) adalah benar, secara singkat T(p)=B

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah ( variabel ), sehingga belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah lambang yang di gunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan. Variabel tidak harus mewakili angka saja tetapi juga dapat benda atau tempat. Ingkaran atau negasi yaitu suatu pernyataan baru yang dikonstruksi dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar ( dilambangkan dengan ~) Contoh dari ingkaran adalah p: Semua laki – laki pembohong ~p: Tidak benar bahwa semua laki – laki pembohong r : Ada negara yang presidennya adalah wanita ~r : Tidak benar bahwa ada negara yang presidennya adalah wanita

q: Saya seorang siswa ~q: Tidak benar bahwa saya seorang siswa atau saya bukan seorang siswa p: 8+4>12 ~p: 8+4≤12 r : 8+9≤17 ~r : 8+9>17 Kata kunci Pernyataan Ingkaran = < > ≥ ≤ ≠

Kata Hubung Logika Lambang Istilah Kalimat majemuk adalah kalimat yang diperoleh dengan menggabungkan dua pernyataan atau lebih. Dua pernyataan dapat digabungkan menggunakan kata sambung seperti ini: dan, atau, jika…..maka…..,…….jika dan hanya jika…..,meskipun,tetapi. Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…) dan biimplikasi (jika dan hanya jika). Tabel Kata Hubung Logika Kata Hubung Logika Lambang Istilah …dan… …atau… Jika…maka… …jika dan hanya jika… Λ V   Konjungsi Disjungsi Implikasi biimplikasi

Contoh kalimat majemuk adalah p :Bulan mengelilingi bumi q :Es melebur pada suhu 320 p^q:Bulan mengelilingi bumi dan es melebur pada suhu 320 pvq : Bulan mengelilingi bumi atau es melebur pada suhu 320 pq: Jika bulan mengelilingi bumi maka es melebur pada suhu 320 Pq: Bulan mengelilingi bumi jika dan hanya jika es melebur pada suhu 320

Konjungsi adalah dua pernyataan p dan q digabungkan untuk membentuk kalimat majemuk dengan menggunakan kata hubung dan, serta, lalu, kemudian, walaupun, meskipun,dsb. Contoh : p : 12 habis di bagi 6 ( benar ) q : 16 habis dibagi 5 ( salah ) pΛq: 12 habis dibagi 6 dan 16 habis dibagi 5 ( salah ) p: 3+4 =7 ( benar ) q: 7 adalah bilangan prima ( benar ) pΛq: 3+4=7 dan 7 adalah bilangan prima (benar) p:Matahari mengelilingi bumi ( salah ) q:Bumi adalah meteor ( salah ) pΛq: Matahari mengelilingi bumi dan bumi adalah meteor ( salah ) p:Es membeku pada suhu yang panas ( salah ) q:pancaran kalor adalah radiasi ( benar ) pΛq:Es membeku pada suhu yang panas dan pancaran kalor adalah radiasi ( salah)

Tabel konjungsi pernyataan : PΛS B Jika p dan q dua pernyataan , maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar, sebaliknya p dan q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai salah atau keduanya salah.

Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda ”v”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”. Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p dan q bernilai salah jika keduanya bernilai salah. Contoh dari disjungsi adalah 1. p : Bogor adalah kota hujan ( benar ) q : Bogor ada di pulau Sulawesi ( salah ) pvq : Bogor adalah kota hujan atau bogor ada di pulau Sulawesi ( benar ) 2. p : 2 + 4 x 5 = 30 ( salah ) q : 2 + 4 x 5 = 22 ( benar ) pvq : 2 + 4 x 5 = 30 atau 2 + 4 x 5 = 30 ( benar ) 3. p : Indonesia adalah negara berkembang ( benar ) q : Jepang adalah negara maju ( benar ) pvq : Indonesia adalah negara berkemba Jepang adalah negara maju ( benar )

p q pvq B S 4. p : Inggris adalah negara asia ( salah ) q : Danau Toba ada di Irian Jaya ( salah ) pvq : Inggris adalah negara asia atau Danau Toba ada di Irian Jaya ( salah ) Tabel Kebenaran Disjungsi p q pvq B S

Operasi Biimplikasi ( Bikondisional). Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika dan hanya jika …..” dinotasikan “” . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q dibaca p jika dan hanya jika q.Pernyataan p  q dapat juga dibaca : 1. p equivalent q 2. p adalah syarat perlu dan cukup bagi q Jika p dan q dua buah pernyatan maka p  q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p  q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar Contoh dari biimplikasi 1. p : Ayah mendapat gaji ( benar ) q : Ayah bekerja ( benar ) pq : Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja ( benar) 2. p : Ani lulus ujian ( benar ) q : Ani malas belajar ( salah ) pq : Ani lulus ujian jika dan hanya jika Ani malas belajar ( salah )

p q pq B S 3. p : Padi tidak tumbuh subur ( salah ) q : Padi diberi pupuk ( benar ) pq : Padi tidak tumbuh subur jika dan hanya jika padi diberi pupuk ( salah ) 4. p : Doni mendapat nilai jelek ( salah ) q : Doni malas belajar ( salah ) pq : Doni mendapat nilai jelek jika dan hanya jika Doni malas belajar ( benar ). Tabel Kebenaran Biimplikasi p q pq B S

Operasi Implikasi. Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …. maka ….” yang dilambangkan “ “. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis pq dan dibaca “ jika p maka q”. Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”. Dalam pernyataan pq p disebut hipotesa / anteseden / sebab q disebut koklusi / konequen / akibat Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar. Contoh dari Implikasi 1. p : 10 adalah bilangan genap ( benar ) q : 10 habis di bagi 2 ( benar ) pq : Jika 10 adalah bilangan genap maka 10 habis di bagi 2 ( benar ). 2. p : Indonesia di lalui garis khatulistiwa ( benar ) q : Di Indonesia ada empat musim ( salah ) pq : Jika Indonesia di lalui garis khatulistiwa maka di Indonesia ada empat musim ( salah )

p q pq B S 3. p : 12 adalah bilangan prima ( salah ) q : 12 habis dibagi 4 ( benar ) pq : Jika 12 adalah bilangan prima maka 12 habis dibagi 4 ( benar ) 4. p : Inggris adalah negara berkembang ( salah ) q : Inggris bukan anggota organisasi negara maju ( salah ) pq : Jika Inggris adalah negara berkembang maka Inggris bukan anggota organisasi negara maju ( benar ) Tabel Kebenaran Implikasi p q pq B S

B S Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk. Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-operasi pernyataan negasi (~), konjungsi (Λ), disjungsi (v), implikasi () dan biimplikasi () dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit. Contoh : 1) ~( p v ~q) 2) ~(pΛ(pq)) 3) ~((pvq)r) Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut . Contoh : Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ (pv~q ). p q ~q (p v q) ~(p v ~q) B S

B S Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain sebagai berikut : 1. qp disebut pernyataan Konvers dari pq 2.~p~q disebut pernyataan Invers dari pq 3.~q~p disebut pernyataan Kontraposisi dari pq Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran . Tabel hubungan nilai kebenaran q  p,~p  ~q , ~q  ~p dengan p  q IMPLIKASI KONVERS INVERS KONTRAPOSISI p q ~p ~q pq qp ~p~q ~q~p B S

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalui bernilai benar Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah Kuantor universal , kuantor ini dilambangkan dengan (x)p(x) ditandai dengan kata semua, segenap, setiap. Ingkaran kuantor unversal adalah ((x))~p(x). Kunator eksitensial (x)p(x) ditandai dengan kata ada, sebagian, beberapa. Ingkaran kuantor eksistensial adalah Negasi Pernyataan Majemuk, untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan majemuk pada tabel berikut ini: Operasi Lambang Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi pΛq pvq pq pq ~pv~q ~pΛ~q pΛ~q p~q atau ~pq

Penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme. Jika p  q benar dan p benar maka q benar. Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut : p  q. . . . . . premis 1 p . . . . . . premis 2 . . . . . . kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut : (pq)Λp)q. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi (pq)Λp)q. merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Tabel nilai kebenaran dari (pq)Λp)q Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa (pq)Λp)q merupakan tautologi,jadi argumen tersebut sah. p q pq (pq)Λp (pq)Λp)p B S

Modus Tollens Jika pq benar dan ~q benar maka p benar Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut: p  q . . . . . . premis 1 ~q . . . . . . . premis 2 . . . . . . kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai (pq)Λ~q)~p,sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran (pq)Λ~q)~p sebagai berikut ! ~p p q ~p ~q pq (pq)Λ~q (pq)Λ~q)~p B S

Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa (pq)Λ~q)~p merupakan tautologi Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa (pq)Λ~q)~p merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah . Silogisma Dari premis-premis pq dan qr dapat ditarik konklusi pr . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut : p  q . . . . . . premis 1 ~q . . . . . . . premis 2 . . . kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai . sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut : Tabel nilai kebenaran Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa p q r pq qr pr B S merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.